Ecuaciones Diferenciales Ordinarias: Modelos de Epidemias
Contenido del curso
En la clase anterior vimos cómo las funciones nos permiten describir de forma cuantitativa una parte simplificada de la realidad que denominamos sistema dinámico. Sin embargo, tener conocimiento previo de estas funciones no es algo que se da a menudo. Lo que comúnmente sucede es que primero se formulan leyes naturales que reflejan la intuición o percepción que obtenemos de nuestras observaciones sobre lo que sucede en la realidad que nos rodea. Si estas leyes están bien formuladas y son lo suficientemente claras, podemos extraer lo que se denomina una ecuación. La idea de una ecuación es que nos permite encontrar una incógnita por medio de operaciones matemáticas fundamentales y en este curso nos enfocaremos específicamente en las ecuaciones diferenciales ordinarias o EDOs. Si quieres profundizar en esos temas, tenemos el Curso de Ecuaciones Diferenciales.
Cuando es posible formular leyes naturales, el modelo resultante se denomina determinístico. Sin embargo, cuando no es posible formular una ley natural sobre un sistema y su dinámica observable, se acostumbra recurrir a la teoría de la probabilidad. El modelo que resulta de esta segunda situación se denomina modelo estocástico.
La probabilidad es la alternativa en la que se basan los modelos matemáticos cuando no es posible establecer leyes que determinen cómo va a evolucionar un sistema dinámico. Aunque como dijo uno de los últimos grandes genios de nuestra era, Henri Poincaré:
El azar no es más que la medida de nuestra ignorancia. Los fenómenos fortuitos son, por definición, aquellos cuyas leyes simplemente ignoramos.
Y con esto, Poincaré, está queriendo decir que en el fondo todo debe tener leyes que rigen su comportamiento, pero que cuando no sabemos porque razón las cosas suceden, eso es lo que entendemos por azar y ahí es donde entra la teoría de la probabilidad. En este curso vamos a trabajar exclusivamente con modelos determinísticos, aunque veremos que algunas leyes de sistemas particulares que estudiaremos, en realidad viven sobre una delgada línea entre lo determinístico y lo estocástico. Esto ocurre porque en algunos casos la probabilidad puede resumirse en un tipo de modelo determinístico que describe solamente propiedades a nivel macro de nuestro objeto de estudio. Yo sé, esto suena un poco extraño, y por eso como especie nos tomó mucho tiempo entenderlo, pero verás que el resultado es muy interesante desde el punto de vista científico y ha resultado históricamente muy útil.
Ahora ya tenemos bien establecido el terreno sobre el cual nos vamos a mover: Vamos a construir modelos determinísticos de sistemas dinámicos que puedan traducirse en ecuaciones diferenciales ordinarias. En este punto quizá te preguntes: ¿Ya por fin vas a decirme qué es una EDO?. Pues sí, llegó el momento, pero para lograr entenderlo de la forma más sencilla posible, construiremos el concepto a partir de un ejemplo que sea intuitivo para todos sin caer en formalismos matemáticos.
Vamos a considerar el problema de la propagación de una epidemia en una población de personas que son susceptibles de infectarse por un virus, bacteria o agente infeccioso en general. Hay que comenzar por identificar qué nos puede interesar de este problema. Algunas variables que sería muy útil poder predecir serían:
Para formular la ecuación que nos permita responder al menos de manera aproximada este tipo de preguntas, primero debemos intuir cuál sería una ley que gobierne la dinámica de este problema. Aquí nuestro sistema dinámico se compone de una población de individuos, la cual se divide en compartimientos, listamos algunos por ponerlos de ejemplo, pero pueden variar en sus definiciones:
En general, el número de compartimientos puede aumentar o disminuir dependiendo de las aproximaciones o simplificaciones que quieras incluir en el modelo. Vamos a comenzar con un modelo que asume solo dos compartimientos: susceptibles de infección e infectados. Sabemos que esto no es muy realista, pero tomaremos el ejemplo solamente para entender cómo construir una ecuación de esto.
El primer paso es formular una ley de crecimiento o expansión de la epidemia y esto lo haremos a partir de argumentos basados en observación y tal vez algo de sentido común. Esta ley, para quedar bien formulada, tenemos que escribirla en términos de las variables que caracterizan nuestro sistema, las cuales en este caso serían: el número de individuos susceptibles en el tiempo S(t) y el número de infectados en el tiempo I(t).
La manera de formular una ley sencilla que describa este sistema se consigue avanzando a través de la siguiente línea de razonamientos:
De lo cual escribimos la ley en términos de dos relaciones de proporcionalidad (una relación por cada compartimiento de la población):
Las cuales a su vez se pueden escribir como ecuaciones, recordando que cualquier relación de proporcionalidad se puede escribir como una igualdad incluyendo una constante de proporcionalidad, que en este caso llamamos β (y cuyo significado descubriremos en la próxima clase):
Aquí estamos usando derivadas para expresar las tasas de cambio de una variable como es usual en el Cálculo diferencial. En estas ecuaciones tenemos dos incógnitas que son S(t) e I(t) , y además se caracterizan porque incluyen derivadas de las incógnitas (observa que las incógnitas en realidad son funciones del tiempo). En este sentido, cuando tenemos una ecuación cuya incógnita es una función y esta ecuación incluye derivadas de la función incógnita, se le llama Ecuación Diferencial Ordinaria o en forma breve EDO.
Así pues, hemos encontrado una ley muy sencilla que describe matemáticamente cómo evoluciona una epidemia en el tiempo. El reto es que tenemos dos ecuaciones que debemos resolver para poder encontrar las funciones que nos permitirán predecir el número de infectados en el tiempo, así como ya lo teníamos resuelto con el ejercicio del péndulo en la clase anterior. En la próxima clase veremos cómo se pueden resolver este tipo de ecuaciones.
Lorena Mondragón
Eduardo Monzón
Daniel Edgardo García Bonilla
Roger Christian Cansaya Olazabal
Josue Noha Valdivia
Armando Heriberto Aguilar
Ilia Adad Infante Trejo
Raymundo Soto Soto
Francisco Camacho
Profesor
Miguel Angel Velazquez Romero
Francisco Camacho
ProfesorMiguel Angel Velazquez Romero
Gracias por el resumen.
Porqué "El número de contactos posibles entre ambos compartimientos de la población es proporcional a ambas variables y esto lo expresamos como un producto de variables"? R\ Estamos asumiendo que cada una de las personas infectadas puede tener contacto con cada una de las personas susceptibles.
Según entiendo la interacción de los grupos S(t) e I(t) dS/dt : seria negativo porque al interactuar estos grupos la cantidad de susceptibles disminuye porque ahora hay mas infectados, el diferencia del susceptibles es negativo dI/dt : seria positivo por la misma razón, al interactuar con los infectados, el numero de infectados incrementa el diferencial de infectados es positivo y B seria como el probabilidad de contagio.
Modelos Determinísticos: Un modelo es determinístico cuando es posible de formular sus leyes naturales (matemáticas) Modelos Estocasticos: Se dan cuando no podemos formular sus leyes matemáticas y recurrimos a la probabilidad para conseguir un modelo.
Frecuentemente se da que una vez conocemos mejor el fenómeno pasamos de un modelo estocástico a uno deterministico. En palabla de Henri Poincaré: "El azar no es más que la medida de nuestra ignorancia. Los fenómenos fortuitos son, por definición, aquellos cuyas leyes simplemente ignoramos."
En algunos casos podemos hallar un modelo determinístico solo a nivel macro, cuando miramos más de cerca la estocástica gobierna
EDO Es una ecuación que incluye una incógnita y derivadas de la incógnita. Es muy usual el uso de estas ecuaciones para describir un modelo.
Construcción de un modelo
Es mejor usar modelos determinísticos cuando necesitas predicciones claras, directas y computacionalmente eficientes a nivel macroscópico. Piensa en un modelo determinístico como un reloj suizo: si conoces la posición inicial de los engranajes, sabes exactamente qué hora marcará en el futuro. En epidemiología o física, cuando trabajas con poblaciones masivas, las pequeñas variaciones individuales se cancelan entre sí. Esto te permite establecer reglas fijas, como una tasa de contagio constante, y usar Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDOs) para trazar una curva de crecimiento suave y predecible. Son inmensamente superiores cuando buscas optimizar recursos, como calcular exactamente cuántas camas de hospital necesitarás en el pico de una crisis, porque te entregan un resultado único y definitivo en lugar de un abanico de probabilidades, facilitando la toma de decisiones críticas de forma rápida.
¿Por qué el primer juego de ecuaciones tiene un alfa?
A mi parecer los métodos determinas y estocásticos no son mundos diferentes, pertenecen a una misma visión, ya que ambos se complementan. Un ejemplo, la velocidad a la que ocurren las reacciones químicas se pueden modelar por EDOS considerando un grupo muy grande de moléculas, pero también se puede modelar un grupo de "n" moléculas reaccionando usando un modelo estocástico, aunque los resultados pudieran ser distintos de forma númerica, de forma cualitativa reflejan las características principales del fenómeno, que es lo fundamental. De hecho, las EDOS se consideran que son el modelo continuo (hay mucho de qué hablar sobre los supuestos) y los modelos estocásticos los modelos discretos. Podemos pasar de uno a otro siguiendo algunas reglas.
por eso acostumbro a decir que el carácter probabilistico de algo en realidad es solo un punto de vista parcial que se usa cuando se tiene información incompleta. Son dos caras de la misma moneda. Pero para efectos técnicos son dos cosas diferentes, puedes usar ambos tipos de modelamientos para el mismo problema dependiendo de la completitud en la información que tengas del sistema.
Que algo, un suceso sea probable es un sinónimo de estocástico y de ser así, ¿Cual es la diferencia?
que algo sea estocastico es solo un punto de vista, si conocemos las causas precisas de todo, no es necesario de hablar de probabilidades, es una argumento muy epistemologico :)
Ya veo, ¡Gracias pacho!