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Otra manera de integrar por partes: El método D.I

Todo aquel que ha visto un curso de cálculo integral probablemente se ha encontrado con la fórmula de “un día vi una vaca vestida de uniforme” para integración por partes, es decir, esta:

Formula integración por partes

Sin embargo, estoy seguro de que pocos han visto que hay otra forma de ver el algoritmo de la integración por partes, una que puede ser mas conveniente en algunas situaciones. A esta forma se le conoce como el método D.I. Para mostrar como aplicar el método D.I, digamos que queremos resolver esta integral:

Integral ejemplo

Si quieres intenta resolverá usando la fórmula típica, pero te adelanto que la vas a tener que aplicar varias veces. Ahora, para aplicar el método D.I, debemos escoger una función para derivar y otra para integrar (de ahí el acrónimo D.I), y colocarlas en una tabla de la siguiente manera

Tabla D.I

En la primera fila están las funciones que escogimos para derivar e integrar, respectivamente; sin haber aplicado dichas operaciones. En la segunda fila están las funciones ya derivadas e integradas. Para obtener la expresión de la integral que queremos resolver, primero hay que fijarnos en los signos de la primera columna, que nos indican como van a quedar los signos en la expresión. Esos signos deben ir alternados, empezando por el positivo siempre. Luego multiplicamos los elementos de la tabla de la siguiente manera

Tabla D.I para explicar la multiplicación

Al multiplicar nos queda la siguiente expresión:

Expresión luego de aplicar D.I

A destacar dos cosas, primero, los signos corresponden con los signos de la tabla, por ejemplo, el primer término es positivo porque el signo de la primera fila es positivo (y ninguno de los elementos multiplicándose tenía un negativo), mientras que el segundo término es negativo porque el signo de la segunda fila es negativo. Segundo, la multiplicación de los elementos señalados por la flecha horizontal queda dentro de la integral. Nota que la integral que está restando también se puede resolver con integración por partes, y es aquí donde viene la ventaja del método D.I.

Mientras que con la fórmula típica tendríamos que repetir el proceso varias veces, con el método D.I podemos continuar el trabajo en la tabla que ya teníamos. Es decir, podemos continuar derivando e integrando tantas veces como necesitemos

Tabla del método D.I expandida

Haciendo las multiplicaciones indicadas en la imagen, al final nos queda:

Resultado final

Al igual que en este ejercicio, hay muchas otras situaciones donde puede ser más conveniente usar el método D.I que la fórmula típica. Personalmente prefiero este método, pero al final queda a tu criterio decidir cual utilizar.

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Interesante, que bueno que exista otro método para resolver estas integrales