Esta es una pequeña guía sobre como aplicar tablas de verdad a argumentos.
¡Comencemos!
La guía se divide en tres partes, la primera es un breve repaso de lo qué es una tabla de verdad, la segunda parte habla de como formalizar o simbolizar un argumento, y la última parte la dedico a explicar como se construye la tabla de verdad para un argumento y como saber cuando es válido o inválido.
Una tabla de verdad es una tabla o matriz en el que se representan todas las posibles combinaciones de verdad de una proposición o conjunto de proposiciones. Así tenemos que para una proposición simple p su tabla de verdad sería:
| p |
|---|
| F |
| V |
La tabla de verdad para la proposición compuesta p v q (p o q) sería:
| p | q | p v q |
|---|---|---|
| F | F | F |
| F | V | V |
| V | F | V |
| V | V | V |
En esta tabla podemos observar todas las posibles combinaciones de verdad y su resultado de acuerdo a las reglas de la disyunción.
Después de este breve repaso podemos pasar a ver como formalizar argumentos.
Primero que nada, tenemos que entender qué es una proposición. Sin embargo, el tema de qué es una proposición es algo complicado. Para efectos de este tutorial, diremos que una proposición es el significado de una oración declarativa o el significado de una oración que puede ser verdadera o falsa. De este modo, descartamos otros tipos de oraciones como las preguntas u órdenes, que no se consideran proposiciones porque no pueden ser verdaderas o falsas.
Ejemplos de oraciones que son proposiciones:
Ejemplos de oraciones que no son proposiciones:
En lógica, un argumento es la forma en que se expresa un razonamiento y se compone de uno o más premisas y una conclusión. La estructura sería más o menos así:
`[premisa 1]
[premisa 2]
…
[premisa n]
Por lo tanto, [conclusión]`
Ahora bien, así es como se vería un argumento ya estructurado, pero la mayoría de las veces no encontraremos los argumentos redactados así; más bien suelen estar en prosa y ocultarse en la retórica del lenguaje, y es tarea del lector sacar a la luz el argumento; veamos un ejemplo sencillo:
“Los estudiantes que estudian regularmente obtienen buenas calificaciones. María estudia regularmente, por lo que obtendrá buenas calificaciones”
Primero que nada podemos identificar que la conclusión es “por lo que obtendrá buenas calificaciones” que se refiere a que María obtendrá buenas calificaciones. En este caso lo que nos ayudó a identificar la conclusión fue el término “por lo que” que indica consecuencia, en este caso la consecuencia de que María estudie regularmente.
Siguiendo con lo anterior es claro que una de las premisas es “María estudia regularmente”
Ahora bien, ¿qué tiene que ver el hecho de que María estudia regularmente con que María obtenga buenas calificaciones? Bueno, eso es lo que se establece con la otra premisa “Los estudiantes que estudian regularmente obtienen buenas calificaciones”
Podemos empezar a estructura el argumento:
Por lo tanto, obtendrá buenas calificaciones.
Ya tenemos el argumento más o menos estructurado, pero para simbolizar aún falta identificar si las proposiciones son simples o compuestas; si son compuestas también tendremos que identificar el conector lógico.
Si observamos la premisa 1) notaremos que hay dos ideas (o mejor proposiciones) una es “Los estudiantes que estudian regularmente” que se refiere a las personas que son estudiantes y que estudian regularmente; la otra idea es “obtienen buenas calificaciones” que se refiere a los estudiantes que obtienen buenas calificaciones.
Que haya dos ideas en la premisa 1) significa que estamos ante una proposición compuesta, faltaría ver cuál es el conector lógico que une esas ideas. Creo que está claro que la premisa 1) afirma que si se da la primera idea también se da la segunda, eso es similar al condicional o implicación.
Tanto la premisa 2) como la conclusión parecen ser proposiciones simples, ya que no se pueden descomponer en ideas más simples.
Una vez teniendo el argumento estructurado y conociendo los conectores lógicos, la simbolización es bastante sencilla. Lo que tenemos que hacer es sustituir las proposiciones simples por letras.
La proposición que se refiere a los estudiantes que estudian regularmente la podemos representar con la letra p.
La proposición que se refiere a los estudiantes que obtienen buenas calificaciones la podemos representar con la letra q.
El conector condicional o implicación se simboliza con “→” o con “⊃”, depende de la notación que se esté usando, en este caso usaremos “→”.
La premisa 1) que es una proposición compuesta quedaría simbolizada como: p → q (si p entonces q).
La premisa 2) que es una proposición simple quedaría simbolizada también como p. Hay que hacer notar que esto es inexacto, ya que la proposición “María estudia regularmente” es un enunciado particular, es decir habla de un individuo concreto, mientras que la proposición “Los estudiantes que estudian regularmente” se trataría de un enunciado universal, es decir habla de todos los estudiantes; sin embargo, es claro que el enunciado “María estudia regularmente” es una instancia de “Los estudiantes que estudian regularmente” por lo que se resolvió simbolizar 2) como p. Gracias a este detalle podemos ver una de las limitaciones de la lógica proposicional es que no es capaz de modelar ciertos argumentos que incluyen cuantificadores (Para todo …, Existe al menos un …).
Lo anterior también aplica para la conclusión. La conclusión sería una instancia de “obtienen buenas calificaciones” por lo que se simbolizaría como q.
Por último, la expresión que indica que una proposición es una conclusión,“Por lo tanto” se suele simbolizar con ∴.
Ahora solo hay que volver estructurar el argumento, quedaría:
∴ q
El primer paso para hacer la tabla de verdad de un argumento es definir las columnas y el número de filas. Las proposiciones simples, las premisas y la conclusión definen las columnas de la tabla, mientras que el número de filas se define por medio de 2^n (2 elevado a la n) donde n es el número de proposiciones simples.
Tomemos el argumento anterior:
∴ q
y construyamos su tabla de verdad. Primero definamos las columnas:
| p | q | p → q | p | ∴ q |
|---|
Las primeras dos columnas corresponden a las proposiciones simples y las columnas restantes a las premisas y la conclusión.
Ahora definamos el número de columnas, el cálculo sería 2^2 que da 4. La tabla quedaría:
| p | q | p → q | p | ∴ q |
|---|---|---|---|---|
El siguiente paso sería colocar los valores de verdad. Primero colocamos los valores de verdad de las proposiciones simples de tal forma que representemos todas las combinaciones posibles en la tabla, quedaría así:
| p | q | p → q | p | ∴ q |
|---|---|---|---|---|
| V | V | |||
| V | F | |||
| F | V | |||
| F | F |
Lo siguiente sería colocar los valores restantes tomando en cuenta si tienen operador lógico:
| p | q | p → q | p | ∴ q |
|---|---|---|---|---|
| V | V | V | V | V |
| V | F | F | V | F |
| F | V | V | F | V |
| F | F | V | F | F |
Y ya está tenemos nuestra tabla, solo quedaría revisar si el argumento es válido. Para revisar esto podemos ignorar las columnas que corresponden a las proposiciones simples y dejar solo las columnas que corresponden a las premisas y la conclusión:
| p → q | p | ∴ q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| F | V | F |
| V | F | V |
| V | F | F |
Para saber si el argumento es válido debemos buscar la fila en donde las premisas y la conclusión sean verdadero, en caso de que haya una fila donde las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa, entonces el argumento es inválido.
Por último, me gustaría añadir que, si bien las tablas de verdad son una forma sencilla de comprobar mecánicamente la validez de un argumento, lo cierto es que no son muy prácticas. Para argumentos muy largos, sería físicamente imposible construir su tabla de verdad. Por ejemplo, un argumento de cinco variables proposicionales resultaría en una tabla de 32 filas (2^5). Es por esto que lo mejor es aprender reglas de inferencia y cómo construir demostraciones formales de validez. 😉
