Aprende la regla de la potencia de una potencia: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Demostración, 4 ejemplos resueltos (base negativa, fracción, variables) y los errores más comunes.
La potencia de una potencia aparece cuando elevas una expresión que ya estaba elevada a otro exponente, como (2³)⁴. En vez de calcular paso por paso, una sola regla te da el resultado: multiplicar los dos exponentes. Si entiendes por qué funciona, no tendrás que memorizarla, y dejará de aparecerte mal en el examen.
Aquí vas a ver la fórmula, la demostración de por qué se multiplican los exponentes, cuatro ejemplos resueltos (incluyendo el caso con base negativa, donde más gente se equivoca) y la diferencia con el producto de potencias, que cae siempre en los exámenes de álgebra.
¿Qué es la potencia de una potencia?
La potencia de una potencia es una expresión en la que tienes una base elevada a un exponente (el número pequeño arriba), y todo ese bloque está elevado a otro exponente. La notación general es (aᵐ)ⁿ, donde:
- a es la base.
- m es el primer exponente, dentro del paréntesis.
- n es el segundo exponente, fuera del paréntesis.
Por ejemplo, en (x²)³, la base es x, el primer exponente es 2 y el segundo es 3. El resultado, como vas a ver, es x⁶.
¿Qué significa (aᵐ)ⁿ? Significa que primero elevas la base a al exponente m, y al resultado lo elevas al exponente n. La regla simplifica los dos pasos en uno solo: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ.
La regla de la potencia de una potencia
La regla es directa: cuando elevas una potencia a otro exponente, multiplicas los dos exponentes. La base se queda igual.
Fórmula: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ (donde aᵐⁿ significa “a elevado a m · n”, es decir, los dos exponentes se multiplican)
Esta es una de las 7 leyes de los exponentes. Si quieres verlas todas juntas con sus fórmulas y ejemplos, repasa la guía de propiedades de la potenciación.
¿Por qué se multiplican los exponentes?
No es una regla arbitraria. Solo necesitamos la definición de potencia: el exponente dice cuántas veces se multiplica la base por sí misma.
2³ = 2 · 2 · 2 (tres doses)
Elevar ese resultado al cuadrado significa repetirlo dos veces:
(2³)² = (2 · 2 · 2) · (2 · 2 · 2) = 2⁶
En total: seis doses. Y 6 = 3 · 2. Por eso multiplicamos los dos exponentes.
La misma lógica aplica en general: (aᵐ)ⁿ repite m factores de a un total de n veces, lo que da m · n factores. De ahí sale la fórmula.
Ejemplos de potencia de una potencia resueltos paso a paso
Ejemplo 1. Base numérica positiva: (2³)⁴
Multiplicamos los exponentes: 3 · 4 = 12. Entonces (2³)⁴ = 2¹² = 4.096.
Comprobación rápida: 2³ = 8, y 8⁴ = 4.096. ✓
Ejemplo 2. Base negativa: ((−3)²)³
Cuando la base es negativa, el paréntesis interior es obligatorio: ((−3)²)³ significa “tomamos el −3, lo elevamos al cuadrado, y al resultado lo elevamos al cubo”. Aplicando la regla:
Multiplicamos los exponentes: 2 · 3 = 6. Entonces ((−3)²)³ = (−3)⁶ = 729
Comprobación: (−3)² = 9, y 9³ = 729. ✓
Regla de signos útil: con una base negativa, el resultado es positivo si m·n es par, y negativo si m·n es impar. En el ejemplo, 2·3 = 6 (par), así que el resultado quedó positivo.
Ejemplo 3. Base fraccionaria: ((1/2)²)³
Las fracciones siguen exactamente la misma regla:
Multiplicamos los exponentes: 2 · 3 = 6. Entonces ((1/2)²)³ = (1/2)⁶ = 1/64
Comprobación paso a paso: (1/2)² = 1/4, y (1/4)³ = 1/64. Coincide.
Ejemplo 4. Variables y apilamiento múltiple: ((x²)³)⁴
Cuando hay tres o más exponentes apilados, multiplicas los tres:
Multiplicamos los exponentes: 2 · 3 · 4 = 24. Entonces ((x²)³)⁴ = x²⁴
La generalización es directa: por cada nivel de paréntesis que añadas, sumas un factor al producto de los exponentes. Cuando combinas la potencia de una potencia con productos notables o con expresiones del lenguaje algebraico, esta es la operación que más vas a usar.
Diferencia con el producto de potencias de igual base
Es el error que más cuesta puntos con exponentes: confundir cuándo se suman y cuándo se multiplican. La pista está en si hay paréntesis con exponente afuera o no.
| Operación | Fórmula | Cuándo se aplica |
|---|---|---|
| Producto de potencias | aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | Multiplicas dos potencias separadas |
| Potencia de una potencia | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | Una potencia está elevada a otro exponente |
El error típico: escribir (2³)⁴ = 2⁷, sumando los exponentes. No: si hay un paréntesis con un exponente afuera, multiplicas. La suma es solo cuando tienes dos potencias multiplicándose entre sí, como 2³ · 2⁴ = 2⁷.
Una regla mnemotécnica que ayuda: paréntesis con exponente afuera → multiplica. Sin paréntesis, solo punto entre potencias → suma.
¿La potencia de una potencia se suma o se multiplica? Se multiplica. Cuando ves dos exponentes con un paréntesis en medio, como en (aᵐ)ⁿ, multiplicas. La suma de exponentes solo aparece en el caso distinto del producto de potencias: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ.
¿Cuál es la diferencia entre (2³)² y 2³ · 2²? (2³)² = 2⁶ = 64. Pero 2³ · 2² = 2³⁺² = 2⁵ = 32. La primera multiplica los exponentes (hay paréntesis con exponente afuera), la segunda los suma (son dos potencias separadas multiplicándose).
Casos especiales: exponente cero, negativo y fraccionario
La regla (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ sigue funcionando aunque el exponente exterior sea 0, negativo o fraccionario.
- Exponente cero: (aᵐ)⁰ = a⁰ = 1, con a ≠ 0. Ejemplo: (5³)⁰ = 1.
- Exponente negativo: (aᵐ)⁻ⁿ = a⁻ᵐⁿ = 1/aᵐⁿ. Ejemplo: (2²)⁻³ = 2⁻⁶ = 1/64.
- Exponente fraccionario: (aᵐ)^(1/n) = a^(m/n). Aquí es donde la potenciación se conecta con la radicación: la radicación es la operación inversa de la potenciación, y ⁿ√a pregunta “¿qué número, elevado a n, da a?”. Por eso a^(1/n) es lo mismo que ⁿ√a. Por ejemplo, (2⁶)^(1/2) = 2³ = 8, que coincide con √(2⁶) = √64 = 8.
Los dos primeros casos tienen su propia ley dentro de las propiedades de la potenciación. El exponente fraccionario conecta directamente con las propiedades de la radicación.
Errores comunes con potencia de una potencia
Sumar los exponentes en vez de multiplicarlos
(2³)⁴ no es 2⁷. Es 2¹². Cuando ves un paréntesis con exponente afuera, multiplicas. La suma es para el caso distinto del producto de potencias (aᵐ · aⁿ).
Olvidar el paréntesis con bases negativas
−3² no es lo mismo que (−3)². Por la jerarquía de las operaciones matemáticas, −3² significa −(3²) = −9, mientras que (−3)² = 9. Cuando trabajes con bases negativas, el paréntesis no es decorativo: cambia el resultado.
Aplicar la regla a bases distintas
La fórmula (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ solo funciona cuando la base es la misma dentro del paréntesis. Si tienes (2³ · 5²)⁴, el exponente exterior se distribuye sobre cada factor por separado: (2³)⁴ · (5²)⁴ = 2¹² · 5⁸. Luego aplicas la potencia de una potencia a cada uno.
Tabla resumen de la potencia de una potencia
| Caso | Fórmula | Ejemplo |
|---|---|---|
| Caso general | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | (2³)⁴ = 2¹² |
| Exponente 0 | (aᵐ)⁰ = 1 | (5³)⁰ = 1 |
| Exponente negativo | (aᵐ)⁻ⁿ = 1/aᵐⁿ | (2²)⁻³ = 1/64 |
| Exponente fraccionario | (aᵐ)^(1/n) = a^(m/n) | (2⁶)^(1/2) = 2³ = 8 |
| Variables | (xᵐ)ⁿ = xᵐⁿ | (x⁴)⁵ = x²⁰ |
| Apilamiento múltiple | ((aᵐ)ⁿ)ᵖ = aᵐⁿᵖ | ((x²)³)⁴ = x²⁴ |
Preguntas frecuentes sobre potencia de una potencia
¿Qué pasa si la base es negativa?
La regla se aplica igual: multiplicas los exponentes. El signo del resultado depende solo de si el producto m·n es par o impar. Si es par, el resultado es positivo: ((−2)³)² = (−2)⁶ = 64. Si es impar, es negativo: ((−2)³)³ = (−2)⁹ = −512.
¿Cómo se aplica la potencia de una potencia con exponentes fraccionarios?
Igual que con exponentes enteros: multiplicas. (aᵐ)^(1/n) = a^(m/n). El resultado queda con exponente fraccionario, lo cual equivale a una raíz: a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ). Es la forma en que las leyes de los exponentes y las de la radicación se conectan.
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La potencia de una potencia es una de las 7 leyes de los exponentes, y se vuelve indispensable cuando entras a simplificar expresiones algebraicas, factorizar polinomios o trabajar con productos notables. Cada vez que un ejercicio combina varios niveles de exponente, esta regla decide si terminas en 30 segundos o en 5 minutos.
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