Aprende la fórmula del binomio al cuadrado (a±b)² con demostración geométrica, ejercicios resueltos paso a paso y los 3 errores que más bajan tu nota.
El binomio al cuadrado es uno de los productos notables más usados en álgebra: una fórmula corta que te ahorra trabajo cada vez que necesitas expandir, simplificar o factorizar una expresión algebraica. Si la memorizas y entiendes de dónde sale, vas a resolver decenas de ejercicios sin tener que multiplicar paso por paso.
Vas a encontrar la fórmula con su demostración geométrica, cinco ejemplos resueltos a detalle y diez expansiones rápidas en tabla. Sobre todo, vas a entender por qué casi todo el mundo equivoca el signo del medio cuando llega el examen.
¿Qué es un binomio al cuadrado?
Un binomio al cuadrado (también llamado cuadrado de un binomio) es una expresión algebraica formada por dos términos, elevada al exponente 2. Se ve así: (a + b)² o (a − b)², donde a y b pueden ser números, variables, o una combinación de ambos con sus coeficientes.
Para que la fórmula tenga sentido, conviene recordar dos cosas. Un binomio es una expresión con dos términos: 2x + 3 es un binomio; 5x solo es un monomio; 2x + 3 − y es un trinomio. Y elevar al cuadrado significa multiplicar una expresión por sí misma, así que (a + b)² es lo mismo que (a + b)(a + b).
Esa multiplicación se puede resolver término a término, pero existe una fórmula que te da el resultado directo. Es lo que veremos a continuación.
La fórmula del binomio al cuadrado
Hay dos versiones de la fórmula, una para la suma y otra para la resta.
Suma al cuadrado: (a + b)² = a² + 2ab + b²
Cuando el binomio es una suma, el resultado siempre tiene tres términos:
- el cuadrado del primer término (a²),
- el doble producto del primero por el segundo (2ab),
- el cuadrado del segundo término (b²).
Resta al cuadrado: (a − b)² = a² − 2ab + b²
Cuando el binomio es una resta, la fórmula es casi idéntica. Lo único que cambia es el signo del término del medio: el doble producto queda negativo. Los cuadrados a² y b² siguen siendo positivos, porque cualquier número elevado al cuadrado da positivo.
Tabla rápida de la fórmula
| Caso | Fórmula |
|---|---|
| Suma al cuadrado | (a + b)² = a² + 2ab + b² |
| Resta al cuadrado | (a − b)² = a² − 2ab + b² |
¿Cuál es la fórmula del binomio al cuadrado? (a + b)² = a² + 2ab + b² para la suma, y (a − b)² = a² − 2ab + b² para la resta. Solo cambia el signo del término del medio.
¿Por qué aparece el doble producto?
Esta es la parte que casi nadie explica. ¿De dónde sale ese 2ab del medio?
Sale de hacer la multiplicación término a término, sin atajos:
(a + b)(a + b) = a·a + a·b + b·a + b·b = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²
Los dos productos cruzados (a·b y b·a) son iguales, así que se suman entre sí y aparece el 2ab. No es magia: es el resultado de multiplicar correctamente.
¿Qué pasa si me olvido del 2ab? Cometes el error más común del álgebra: pensar que (a + b)² es a² + b². No lo es. La diferencia exacta es 2ab.
Demostración geométrica del binomio al cuadrado
Existe una forma visual de ver por qué la fórmula funciona. Imagina un cuadrado cuyo lado mide (a + b). Su área total es (a + b)², porque el área de un cuadrado es lado por lado.
Ahora divides ese cuadrado: marcas a en una dirección y b en la otra. Aparecen 4 regiones internas:
- Un cuadrado pequeño de lado a, área = a².
- Un cuadrado pequeño de lado b, área = b².
- Dos rectángulos de lados a y b, área = ab cada uno.
Si sumas las áreas de las 4 regiones, obtienes a² + b² + ab + ab, que es exactamente a² + 2ab + b². La demostración geométrica deja claro de dónde sale el doble producto: son los dos rectángulos iguales cuya área es ab dentro del cuadrado grande.
Dibujarlo una vez en tu cuaderno te ahorra memorizar la fórmula mecánicamente. Y queda como pista visual cuando te bloquees a mitad de un ejercicio.
Ejemplos del binomio al cuadrado resueltos paso a paso
El primer ejemplo es solo con números, para que veas que la fórmula funciona antes de meter letras. Después subimos a variables, signos negativos y coeficientes.
Ejemplo 1. Binomio con números: (3 + 5)²
Aplicando la fórmula:
(3 + 5)² = 3² + 2·3·5 + 5² = 9 + 30 + 25 = 64
Comprobación: (3 + 5) = 8, y 8² = 64. ✓
Ejemplo 2. Binomio con variable: (x + 4)²
(x + 4)² = x² + 2·x·4 + 4² = x² + 8x + 16
El resultado es un polinomio con un término en x², uno en x, y un término independiente (sin variable).
Ejemplo 3. Resta al cuadrado: (2x − 3)²
(2x − 3)² = (2x)² − 2·(2x)·3 + 3² = 4x² − 12x + 9
Dos detalles clave aquí. Primero, el cuadrado de 2x eleva tanto el coeficiente (2) como la variable (x), por eso queda 4x². Segundo, el doble producto es negativo porque el binomio era una resta.
Ejemplo 4. Coeficientes y dos variables: (5a − 2b)²
(5a − 2b)² = (5a)² − 2·(5a)·(2b) + (2b)² = 25a² − 20ab + 4b²
Cuando ambos términos tienen coeficientes, recuerda elevar también esos coeficientes al cuadrado: 5² = 25 y 2² = 4. Si quieres repasar la regla general de elevar productos al cuadrado, mira la guía de propiedades de la potenciación.
Ejemplo 5. Cuando el primer término es negativo: (−2x + 3)²
Este caso confunde a muchos estudiantes porque el binomio empieza con menos. La regla es simple: el signo viaja con el término al elevarlo al cuadrado.
(−2x + 3)² = (−2x)² + 2·(−2x)·(3) + 3² = 4x² − 12x + 9
Fíjate en dos cosas. Primero, (−2x)² = 4x² porque cualquier número negativo elevado al cuadrado da positivo. Segundo, el doble producto sí queda negativo: 2·(−2x)·(3) = −12x. El signo “menos” no desaparece, simplemente se traslada al término del medio.
Truco práctico: (−a + b)² es lo mismo que (b − a)². Si reordenas el binomio antes de aplicar la fórmula, te quedas con una resta al cuadrado normal y evitas el lío de signos.
10 ejemplos del cuadrado de un binomio en tabla
Para que internalices el patrón, aquí van diez expansiones más:
| # | Binomio | Resultado |
|---|---|---|
| 1 | (x + 1)² | x² + 2x + 1 |
| 2 | (x − 1)² | x² − 2x + 1 |
| 3 | (a + b)² | a² + 2ab + b² |
| 4 | (2x + 1)² | 4x² + 4x + 1 |
| 5 | (3x − 2)² | 9x² − 12x + 4 |
| 6 | (x + y)² | x² + 2xy + y² |
| 7 | (4a + 3)² | 16a² + 24a + 9 |
| 8 | (m − 5)² | m² − 10m + 25 |
| 9 | (2p − 7q)² | 4p² − 28pq + 49q² |
| 10 | (½x + 2)² | ¼x² + 2x + 4 |
Observa el patrón: el primer término siempre va al cuadrado, el último también, y en el medio aparece el doble producto con su signo correspondiente.
Del binomio al cuadrado al trinomio cuadrado perfecto
El resultado de expandir un binomio al cuadrado es siempre un trinomio cuadrado perfecto: un polinomio de tres términos donde dos son cuadrados exactos y el tercero es el doble producto de las raíces de esos cuadrados. Reconocer este patrón te permite hacer el camino inverso: factorizar.
¿Cómo identifico un trinomio cuadrado perfecto?
Recibes un trinomio como 4x² + 12x + 9 y quieres saber si viene de un binomio al cuadrado. Hazle tres preguntas:
- ¿El primer término es un cuadrado perfecto? 4x² = (2x)². ✓
- ¿El último término es un cuadrado perfecto? 9 = 3². ✓
- ¿El término del medio es el doble producto de las raíces? 2·(2x)·(3) = 12x. ✓
Como los tres chequeos pasan, sí es trinomio cuadrado perfecto y se factoriza como (2x + 3)².
¿Cómo se llama el resultado de un binomio al cuadrado? Se llama trinomio cuadrado perfecto, porque tiene tres términos y todos ellos son piezas exactas de un binomio elevado al cuadrado.
Esta operación inversa, de trinomio a binomio, es factorización, y aparece todo el tiempo al resolver ecuaciones cuadráticas.
3 errores comunes al aplicar la fórmula del binomio al cuadrado
Olvidar el doble producto
(a + b)² ≠ a² + b². Es el error más repetido en exámenes de álgebra. Siempre tiene que aparecer el término del medio, 2ab. Cuando dudes, multiplica el binomio por sí mismo término a término y verifica que te dé tres términos, no dos.
¿Por qué (a + b)² no es igual a a² + b²? Porque al multiplicar (a + b)(a + b) aparecen dos productos cruzados (ab y ba) que se suman y dan el 2ab del medio. Si los saltas, te pierdes un término entero.
Equivocar el signo del doble producto
En (a − b)², el doble producto es negativo: −2ab. En (a + b)², es positivo: +2ab. Los cuadrados a² y b² siempre quedan positivos, porque el cuadrado de cualquier número (positivo o negativo) es positivo. El signo del binomio original solo afecta al término del medio.
Elevar al cuadrado solo la variable
Cuando un término tiene coeficiente y variable, el cuadrado afecta a ambos. Este es el error en acción:
- ❌ Mal: (2x)² = 2x²
- ✅ Bien: (2x)² = 2² · x² = 4x²
Otro caso típico con exponentes en la variable:
- ❌ Mal: (3y²)² = 3y⁴
- ✅ Bien: (3y²)² = 3² · y²·² = 9y⁴
La regla es doble: eleva el coeficiente al cuadrado y multiplica el exponente de la variable por 2. Si te saltas el coeficiente, todo el ejercicio queda con números equivocados desde el primer paso.
Preguntas frecuentes sobre el binomio al cuadrado
¿Cuándo se usa (a + b)² y cuándo (a − b)²?
Depende del signo entre los dos términos del binomio. Si el binomio es una suma (a + b), usas la fórmula con +2ab. Si es una resta (a − b), usas la fórmula con −2ab. Los cuadrados de a y b siempre quedan positivos en ambos casos.
¿En qué se usa el binomio al cuadrado en la vida real?
El ejemplo más concreto es calcular el área de un terreno cuadrado cuyo lado mide (x + 3) metros: el área es (x + 3)² = x² + 6x + 9 m². También aparece en física y estadística cuando una expresión de dos términos debe elevarse al cuadrado, por ejemplo en algunos desarrollos algebraicos de fórmulas con tiempo o desviaciones respecto a una media.
La regla es simple: cada vez que veas una expresión con dos términos elevada al cuadrado, esta fórmula te ahorra hacer la multiplicación a mano.
¿Sirve la fórmula para binomios con fracciones o raíces?
Sí, la fórmula funciona igual. Por ejemplo, (½x + 2)² = ¼x² + 2x + 4, y (√2 + 1)² = 2 + 2√2 + 1 = 3 + 2√2. Lo único que cambia es que elevar al cuadrado una fracción o una raíz requiere aplicar las reglas correspondientes (cuadrado de una fracción, cuadrado de una raíz), pero el patrón a² + 2ab + b² se mantiene.
¿Todo número elevado al cuadrado es positivo?
Casi, pero no siempre. El cuadrado de un número negativo sí es positivo: por ejemplo, $(-3)^2 = 9$. Pero hay una excepción importante: el cero.
0² = 0
Y 0 no es positivo. Por eso, en vez de decir “todo número al cuadrado es positivo”, lo correcto es decir: todo número al cuadrado es positivo o cero.
¿Cómo se relaciona con la factorización?
La factorización es la operación inversa: parte de un trinomio cuadrado perfecto (a² + 2ab + b²) y lo convierte de nuevo en un binomio al cuadrado (a + b)². Aprender a expandir el binomio te enseña a reconocer cuándo un trinomio se puede factorizar de esta forma.
Sigue aprendiendo matemáticas en Platzi
El binomio al cuadrado abre la puerta a todos los productos notables: el conjunto de fórmulas que te dan resultados directos sin multiplicar paso por paso. Una vez que dominas esta, los siguientes (binomio al cubo, suma por diferencia, trinomio al cuadrado, binomios conjugados) caen mucho más rápido, porque comparten la misma lógica.
El Curso de Álgebra de Platzi te lleva desde estos fundamentos hasta resolver ecuaciones cuadráticas, factorización completa y sistemas de ecuaciones, con clases en video y ejercicios paso a paso.
¿Cuál de los tres errores comunes del binomio al cuadrado te ha costado más puntos en un examen? Cuéntanos en los comentarios qué binomio te sigue costando y lo resolvemos juntos.
Curso de Álgebra y Funciones
COMPARTE ESTE ARTÍCULO Y MUESTRA LO QUE APRENDISTE
