Binomio al cuadrado

La mejor manera de entender un binomio cuadrado, es mediante su representación gráfica. Además de comprenderse fácilmente, es más fácil de memorizar.
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Cortesia de Este sitio web

Por si les genera curiosidad, también es posible que el binomio tenga la forma (-a -b)^2, es decir, que ambas variables estén negativas. En estos casos, el resultado será igual a cuando ambas variables son positiva, por lo que no es del todo cierto que el signo del medio del binomio determina el signo del medio del trinomio.

(-a -b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Éste es un binomio al cuadrado
(a + b) ^ 2 = a ^ 2 +2ab + b ^ 2
————
Esto es un meme:
(a + b) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2

Échenle un vistazo a esta parte del artículo de Wikipedia del Triángulo de Pascal 👉🏻 Vínculo entre el triángulo de Pascal y el binomio de Newton

Muy bueno pero no veo los ejercicios en archivos. Ojalá lo suban

Yo me acuerdo que para aprender productos notables lo que más me funcionó es aplicar la pirámide de pascal, que te dice el número que acompaña cada valor de la expresión, me era más fácil armar la pirámide y de ahí construir el producto notable que memorizarlos, al final se te van grabando sin querer.

La pirámide se construye a partir del 1 y se va recorriendo a la los extremos, cada número de en medio es la suma de los inmediatos superiores. Para los exponentes solo es ir recorriendo del número que empieza al 0 a la derecha para el primer termino y al revés para el segundo termino.

Esta es la razón por la que es así la regla del binomio al cuadrado perfecto. Y también la razón de por qué las variables elevadas al cuadrado siempre son positivas; mientras que el doble del producto de las variables será positivo o negativo dependiendo del signo entre los términos

Ejercicios prácticos:

1. (2x + 1)^2=4x^2+4x+1
2. (3a - 4b)^2=9a^2-24ab+16b^2
3. 16x^2 - 40xy + 25y^2=(4x-5y)^2
4. (a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab
5. (x + 3)^2 = 64
   x=5
   x=-11

Los productos notables son aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado se puede obtener mediante una simple inspección, usando fórmulas base como “moldes”.

Esto simplifica y sistematiza la resolución de multiplicaciones habituales.

Y yo perdiendo tiempo multiplicando.

EsEspero haber entendido y que el cuadro sea adecuado para explicarlos

Esto me ayudo muchísimo a entender los productos notables, su representación gráfica y los temas de factorización, por fin entendí la relación entre los productos notables, la factorización y el tema de las áreas en geometría
https://keyelit.files.wordpress.com/2012/02/productos-notables-1.pdf

Esto es porque cuando tenemos una expresión al cuadrado, recordemos que es igual que multiplicar esa expresión por sí misma. El usar productos notables sólo es para hacerlo rápido

💡 Recuerden que si quieren comprobar si su respuesta es correcta podrian utilizar propiedad distributiva.

(a+b)^2 = a^2 +2ab +b^2

Dejo mis solución a los ejercicios por acá:

1. 4x^2 + 4x + 1
2. 9a^2 - 24ab + 16b^2
3. (4x - 5y)^2
4. a^2 + 2ab + b^2 - (a^2 - 2ab + b^2) 
5. = a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2
    = 0 + 4ab + 0 
    = 4ab

yo recuerdo bien que lo aprendí diciendo siempre:

El primero al cuadrado mas dos veces el primero por el segundo mas el ultimo al cuadrado!

También lo pueden verificar aplicando la propiedad distributiva:
(y+6)^2 = (y+6)(y+6)
= y^2+6y+6y+36
= y^2+12y+36

binomio cuadrado suma = primer término al cuadrado + 2 veces el primer por el segundo término + el segundo término al cuadrado. binomio cuadrado resta = primer término al cuadrado - 2 veces el primer por el segundo término + el segundo término al cuadrado.

**Les dejo la demostración matemática del binomio cuadrado
(a + b)^2 = a^2+ ab+b^2

Demostración:**
(a + b)^2= (a + b)(a + b)
Donde el primer terminoo (a + b) = c -> (a + b)^2 = c (a + b)
= ca + cb por distributibidad
= (a + b)a + (a + b)b expresando a c
y haciendo ditsributiba de vuelta queda
(a^2 + ab + b^2)
Q.E.D

Un dibujo jamas sera justificación de algo, las matemáticas son rigurosas en sus resultados

aplicar la ley de binomios

(a+b)²=> el primer termino elevado al cuadrado a²

• 2 veces el primer termnino multiplicado por el segundo 2ab
• el segundo al cuadrado b²

(a+b)² => a² + 2ab + b²

Recuerden, un binomio al cuadrado siempre llevará positivo en el primero y 3er o último término. El en medio puede ser (+) o (-).

Suerte!

Buena y estructurada forma de presentar los productos notables, que nos son más que una poderosa herramienta para simplificar procedimientos en temas de mayor complejidad (Cálculo) y también son útiles para temas de geometría

Binomio al cuadrado = el cuadrado del primer termino + el doble producto del primero por el segundo + el cuadrado del segundo.

Binomio:
Cuenta con dos términos separados por un signo.

Binomio al cuadrado:
Significa que los dos términos separados, están ambos al cuadrado en grupo;
Existe una regla para resolverlos de manera más sencilla.

Formula:
Cuadrado del primer término (±)
El doble del producto de el primero más el segundo con el signo que este en medio (+)
El cuadrado del segundo término

Excelente explicación. Es un camino que nos permite agilizar el proceso de multiplicación, simplemente nos lleva a través de reglas al resultado final. Genial!

También hay que saber el orden de los factores no alterara el
resultado:
(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab

el cuadrado del primero mas el donle del segundo por el primero. te ahorras mucho tiempo aplicando la formula.

Super, yo solo conocía la manera de desarrollarlos, multiplicando el primero por el primero, luego el primero con el segundo y así sucesivamente. De esta manera es más rápido.

Les comparto mis apuntes y un formulario 😃

https://www.youtube.com/watch?v=o6PkQJEQql4&ab_channel=julioprofe

Marcela, aun no se ven los ejercicios en el área de Archivos 😦

7*(1/2)=3.5, no 14

Muchas gracias.

¡Muy buena explicación!

Genial!! gracias

Por que se elevo el cuadrado en la segunda y en el primero no??

Los archivos se encuentran en la siguiente clase

Excelente

Me encantan estos ejercicios ya que me permiten mejorar mis capacidades en la matematica y como los debo emplear.

aqui viene lo bueno…

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Esto es el binomio de Newton, como ven es la generalización del trinomio cuadrado perfecto. Es muy usado en estadística, sobre todo en modelos de variables categóricas, como por ejemplo en modelos de apuestas deportivas entre otros usos. En mi trabajo se usa mucho en modelos de riesgo.

Con este aporte pretendo que vean que en álgebra casi todo puede generalizarse y así uno descubre que una vez en el plano general tiene muchas aplicaciones en otras áreas del conocimiento o incluso en la misma matemática.

El binomio al cuadrado es una operación importante en álgebra donde elevamos al cuadrado una suma o resta de términos. Al aplicar la fórmula, podemos expandir y simplificar la expresión. Esta técnica tiene diversas aplicaciones en matemáticas y física, permitiéndonos resolver problemas complejos, como encontrar áreas o series de números. Es esencial comprender las propiedades del binomio al cuadrado para abordar con éxito su uso en

Si tenemos el binomio (2x + 3)², podemos usar la fórmula para expandirlo: (2x + 3)² = (2x)² + 2 * (2x) * 3 + 3² = 4x² + 12x + 9.

Le pedí a chatGPT que me explice qué son los productos notables como si tuviera 10 años y esto fue lo que me dijo:

Son como “fórmulas especiales” que nos ayudan a multiplicar cierto tipo de expresiones de forma más fácil y rápidoa.

Es como un truco matemático.

Se suele usar en expresiones algebraicas muy comunes.

super buena vamos avanzando

Para obtener el binomio al cuadrado, se siguen los siguientes pasos:

Multiplicar el primer término por sí mismo: (a + b) * (a + b).
Esto resulta en a * a = a^2 y a * b = ab.
Multiplicar el segundo término por sí mismo: (a + b) * (a + b).
Esto resulta en b * a = ba y b * b = b^2.
Escribir el resultado combinando los términos: a^2 + 2ab + b^2.
El binomio al cuadrado del binomio (a + b) es a^2 + 2ab + b^2.
Por lo tanto, (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.

Si el segundo termino es negativo, sera el unico positivo cuando realicemos el binomio!

• Si el binomio es una suma: (a + b) representa el área de un cuadrado de lado (a + b). Este cuadrado se puede dividir en cuatro partes: un cuadrado de lado a, otro de lado b y dos rectángulos de lados a y b. El área total es la suma de las áreas de estas partes: a + b + 2ab.

• Si el binomio es una resta: (a - b) representa el área de un cuadrado de lado (a - b). Este cuadrado se puede obtener recortando un cuadrado de lado a con otro de lado b. El área total es la diferencia entre las áreas de estos cuadrados: a - b. También se puede ver como la suma de las áreas de un cuadrado de lado a, otro de lado b y dos rectángulos de lados -a y b: a + b - 2ab. Basicamente, esta vez el lado B invadiria el cuadrado a. es decir, se apoyaraia sobre a y la difernecia entre estos es lo qeu daria el bueno binomio.

11. Binomio al cuadrado

Productos notables

Binomio al cuadrado = 2 términos

Cuadrado del primer término + el doble producto del primero por el segundo + el segundo al cuadrado

Los símbolos de las soluciones son iguales al símbolo del binomio

Cuando se eleva una fracción al cuadrado se eleva cada uno individualmente; numerador y denominador

Fórmula: Primer término al cuadrado + 2 veces el primer término por el segundo término + el segundo término al cuadrado.

Productos notables: Multiplicaciones de binomios que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por una simple deducción.

y^2 + 2y6 + 6^2 = y^2 + 12y + 36
7x^2 + 2(7x^2)(1/2) + 1/2^2 = 49x^4 + 7x^2 + 1/4

Cap6 pag 97 del agebra de baldor : )

Exelente clase, a mi me eseñaron que la regla es; el cuadrado del primero + o - el doble preoducto del primero por el segundo mas el cuadrado del segundo, que es lo mismo que dijo la maestra solo varia la redaccion. De las notas complementarias me encanto el triangulo de pascal nunca lo habia visto, ni sabia siquiera de su existencia.

Faltaria detallar el origen de los simbolos aqui, si bien habra quienes lo tengan claro.

• Un numero negativo elevado al cuadrado pasa a ser positivo
• la multiplicacion de dos numeros negativos da como resultado un numero positivo
• la multiplicacion de un numero positivo por un numero negativo da negativo

1. +x+ = +
2. -x- = +
3. -x+ = -

Lo cual conduce a

• (-a-b)^2 = a^2 + 2(-a)(-b) + b^2
  = a^2 + 2ab + b^2

• (a-b)^2 = a^2 + 2a(-b) + b^2
  = a^2 - 2ab + b^2

Si alguien se quedo trabado o algo, recomiendo ver este video, animos!!!

Productos Notables

Estoy muy picado porque lo del triángulo de pascal me pudo haber sido SUPER ÚTIL en la universidad y no lo sabía sino hasta este momento. Una lástima la educación secundaria de latam.

la verdad me funciona aplicar la multiplicación común y silvestre. Me siento rar

Binomio Cuadrado, de forma gráfica es un poco más fácil comprender🧠📚:

😊 la profesora me ha devuelto mis ganas de aprender matemáticas. Además que lindo es Notion para tomar notas! Super versatil

(a+b)² + 2ab + d²
(a-b)² - 2ab + b²
estas con las 2 formulas para el binomio cuadrado

Aquí pongo su demostración geométrica, que a mí me ayudo mucho.

Como se manejaría entonces la cuestión de los signos si el binomio al cuadrado es negativo.

Los productos notables son fáciles de calcular con la ayuda del triángulo de pascal, solo noten la relación entre el exponente y el nivel del triángulo:

En este video tenemos por ejemplo (y+6)2, nuestro término a es igual a y nuestro término b es igual a 6 por lo que el resultado siguiendo el triángulo es y2 + 12y + 6**2, con el triángulo no tienen que memorizar nada.

Holaa, aquí les dejo mis notas de esta clase. Puedes usarlas a modo resumen y para comprender un poco mejor el tema.

Buena explicación.

Me gusta la clase y la imagen de abajo del compañero esta super chida

Excelente explicación!

bien

okidoki

Preciso!

Muy buena clase!

Buenas, cuál es el área de archivos? Gracias de antemano!

donde están los ejercicios ?

Buen repaso del binomio al cuadrado!..

perfecto lo he comprendido perfectamente. ahora es tiempo de ponerlo a prueba con ejercicios.

…

primer y tercer término siempre son positivos pq se elevan al cuadrado

Ua fracción al cuadrado es lo mismo que decir numerador al cuadrado sobre denominador al cuadrado.

Excelente explicación.

se me fue el hilo en el segundo ejercicio.

Gracias

Excelente, vamos bien.

Muy claro! 😃

muy bueno