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Curso de 脕lgebra

Curso de 脕lgebra

Marcela Valenzuela G贸mez

Marcela Valenzuela G贸mez

Potencia de una Potencia y Radicaci贸n

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Recursos

La potencia y la radicaci贸n son operaciones matem谩ticas fundamentales que nos permiten realizar c谩lculos, simplificar expresiones y modelar fen贸menos en diversas disciplinas.

驴Qu茅 es la potencia de una potencia?

La potencia de una potencia se refiere a elevar una base a un exponente, y luego elevar ese resultado a otro exponente. Esencialmente, estamos multiplicando exponentes y simplificando las expresiones resultantes.

Ejemplo de potencia de una potencia: (x^2)^3 = x^6

potencia de una potencia

Reglas de potencia de una potencia

Tendremos una base elevada a una potencia y al mismo tiempo todo esto estar谩 encerrado en un par茅ntesis y elevado a otra potencia. La regla consiste en multiplicar ambos exponentes.

La ley de potencia de una potencia establece que, al elevar una potencia a otra potencia, se multiplica los exponentes. La expresi贸n general de esta ley es la siguiente:

(a^m)^n = a^(m*n)

驴Qu茅 son las leyes de los exponentes?

Ejemplos de potencia de una potencia

Para comprender mejor la potencia de una potencia, veamos algunos ejemplos pr谩cticos que ilustran c贸mo aplicar estas propiedades en diferentes situaciones. En cada ejemplo, calcularemos el resultado de la expresi贸n dada y explicaremos los pasos involucrados.

Ejemplo 1: (2^3)^4(2^3)^4

Comencemos con un ejemplo simple. Tenemos la expresi贸n (2^3)^4(2^3)^4, lo que significa que debemos elevar 2 al cubo y luego elevar ese resultado a la cuarta potencia. Veamos c贸mo resolverlo:

(2^3)^4=2^3鈰4=2^12

Aqu铆, aplicamos la propiedad de potencia de una potencia de la misma base y multiplicamos los exponentes para obtener 12. Por lo tanto, el resultado final es 2^12.

Ejemplo 2: (5^2)^3

En este ejemplo, tenemos la expresi贸n (5^2)^3. Siguiendo los pasos adecuados, evaluemos esta expresi贸n:

(5^2)^3=5^2鈰3=5^6

Nuevamente, utilizamos la propiedad de potencia de una potencia de la misma base para multiplicar los exponentes y obtener 6. Por lo tanto, el resultado final es 5^6.

Ejemplo 3: (3^4)^2

Continuemos con otro ejemplo interesante. Aqu铆, la expresi贸n dada es (3^4)^2. Veamos c贸mo simplificarlo:

(3^4)^2=3^4鈰2=3^8

Una vez m谩s, aplicamos la propiedad de potencia de una potencia de la misma base y multiplicamos los exponentes para obtener 8. Por lo tanto, el resultado final es 3^8.

驴C贸mo simplificar una expresi贸n de potencia de una potencia?

Para simplificar una expresi贸n de potencia de una potencia, debemos aplicar las propiedades adecuadas. Si las bases son iguales, podemos multiplicar los exponentes juntos. Si las bases son diferentes, debemos tratar cada base por separado y aplicar las reglas correspondientes.

驴Qu茅 es la radicaci贸n?

La radicaci贸n es la operaci贸n inversa a la potencia. Nos permite encontrar el n煤mero que, elevado a un exponente determinado, produce un resultado espec铆fico. En la expresi贸n 鈭25, el s铆mbolo de ra铆z cuadrada (鈭) nos indica que debemos encontrar el n煤mero que, elevado al cuadrado, sea igual a 25. En este caso, el resultado es 5, ya que 5^2 = 25.

Captura de Pantalla 2023-06-08 a la(s) 4.25.22 p.m..png

Reglas de radicaci贸n

Cambiamos de una ra铆z a una fracci贸n y viceversa. Es importante saber que siempre que encontremos una expresi贸n en forma de ra铆z es mejor pasarla a fracci贸n para que se nos haga m谩s f谩cil operarla. La regla consiste en que en exponente de la base va a ser nuestro numerador y el radical de nuestra ra铆z ser谩 el denominador.

驴Cu谩l es la diferencia entre la potencia y la radicaci贸n?

La potencia es una operaci贸n que implica multiplicar un n煤mero por s铆 mismo un cierto n煤mero de veces, mientras que la radicaci贸n es la operaci贸n inversa, en la cual encontramos el n煤mero que, elevado a una potencia espec铆fica, produce un resultado dado.

Contribuci贸n creada con los aportes de: Mayra L贸pez y H茅ctor Gerardo Garc铆a Escobar.

Repasa: qu茅 es el lenguaje algebraico

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Increible clase, explicado mejor que en la escuela

Les comparto mis apuntes y una tabla de formulas, espero que les sea de ayuda:

En el minuto 10:21, encuentro un error, primero se aplica la regla a^{-b}=\frac{1}{a^b} , dando 1/x鹿/3

Resumen

  1. Sea a un n煤mero cualquiera, n y m exponentes:

(a ^ n) ^ m = a ^ n 路 m

  1. Sea a un n煤mero cualquiera, n y m exponentes,
    a <= 0 cuando n es par y m impar
    a puede tomar cualquier valor cuando n es impar
    Despu茅s me dices porqu茅 a no puede ser negativo para ra铆ces pares

a ^ n / m = n鈭歛 ^ m

Perd贸n por repetir

Quiero agregar otras dos propiedades

  1. Sean a y b dos n煤meros cualquiera, n un exponente:

(ab) ^ n = (a ^ n) (b ^ n)
El exponente se reparte. Esto s贸lo pasa en la multiplicaci贸n y divisi贸n

Esto no se vale:

(a ++ + ++ b) ^ n = (a ^ n) + (b ^ n) Falso

(a 卤 b) ^ n 鈮犅(a ^ n) + (b ^ n) Verdadero

  1. Sean a y b dos n煤meros cualquiera, n un exponente, b 鈮 0:

(a/b) ^ n = (a ^ n) / (b ^ n)
El exponente se reparte. Esto s贸lo pasa en la multiplicaci贸n y divisi贸n

Cualquier duda o aclaraci贸n dime, se aceptan sugerencias.

Este art铆culo de Wikipedia trata de el inverso multiplicativo de los n煤meros: https://es.wikipedia.org/wiki/Inverso_multiplicativo

Rescato un comentario de @thezeivier en donde ayuda a entender de una forma clara dos posibles formas de llegar al resultado de x^{-1/3}

He visto comentarios sobre un ejercicio. Recordemos que como dijo Marcela, pueden haber diferentes formas de realizar los ejercicios e incluso respuestas visualmente馃憖 diferentes pero que en realidad tienen el mismo valor 鉁.
Les comparto otra soluci贸n para este ejercicio馃摎:

Siento que ahora entiendo mucho mejor esto que en la secundaria. 馃槃

Nunca me habia emocionado tanto con las m谩tematicas, esta s煤per sencillo aprender estas bases y recordar cosas que ya no usaba y que ahora necesito, excelente.

Un peque帽o ejemplo.

Me encant贸 esta clase, me ha hecho recordar cuando estudi茅 matem谩ticas en primer a帽o de secundaria, el 煤nico a帽o en la secuandaria en el que fui uno de los mejores alumnos en matem谩ticas porque tuve un profesor que explicaba as铆 de bien que Marcela Valenzuela. 隆Exelente! Siento que me voy a redimir con todo lo dem谩s que no pude aprender bien.

Potencia de una potencia: Multiplicar los exponentes. (x^2)^3 = x^6
Radicaci贸n: Cambiamos de una ra铆z a una fracci贸n y viceversa. Siempre cambiar una ra铆z por una fracci贸n. El exponente/potencia de la base va a ser nuestro numerador y el radical de nuestra ra铆z ser谩 el denominador. 鈭歺 = x陆, 4鈭歺^3 = x戮

Leyes de los exponentes: potencia de una potencia y radicaci贸n
Leyes de los exponentes:

Potencia de una potencia: Tendremos una base elevada a una potencia y al mismo tiempo todo esto estar谩 encerrado en un par茅ntesis y elevado a otra potencia. La regla consiste en multiplicar ambos exponentes.
Radicaci贸n: Cambiamos de una ra铆z a una fracci贸n y viceversa. Es importante saber que siempre que encontremos una expresi贸n en forma de ra铆z es mejor pasarla a fracci贸n para que se nos haga m谩s f谩cil operarla. La regla consiste en que en exponente de la base va a ser nuestro numerador y el radical de nuestra ra铆z ser谩 el denominador.

Una muestra de que la simplificaci贸n y el buen manejo de las operaciones con sus opuestas son cruciales.

Fant谩stico!! Por fin veo c贸mo se resuelven las potencias de potencias y radicaciones!! Muchas gracias profa y felicidades por la simpleza en la explicaci贸n 馃槃

@MarceMaticas eres una excelente maestra 馃憦, este curso esta de maravilla, siento que estoy aprendiendo y le voy tomando cari帽o a las matem谩ticas.馃檲

Buenos ejemplos. Gracias!

Este tipo de operaciones matem谩ticas son divertidas.

Holaa, aqu铆 les comparto mis apuntes de esta clase.

Holaa! super bien la clase de la profe, si bien se entiende todo s煤per, sent铆 que necesitaba practicar para profundizar y asimilar lo entendido.

As铆 que estuve practicando ejercicios en algunas webs, les dejo los link por si les sirve:

https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/aritmetica/racionales/ejercicios-resueltos-de-potencias.html

https://es.plusmaths.com/ejercicios/multiplicaciones-de-potencias

Respuestas:

  1. (a^3)^5 = a^15
  2. (x^2)^-3 = x^-6 = 1 / x^6
  3. (x^-3)^-4 = x^12
  4. [y^(1/6)]^2 = [y^(1/3)]
  5. [y(1/2)]^(1/3) = [y^(1/6)]
  6. (z^-10)^(1/5) = z^-(10/5) = z^-2 = 1/z^2
  7. 鈭歺^6 = x^(6/2) = x^3
  8. 3鈭歺^2 = x^(2/3)
  9. x^-(1/3) = 3鈭歺^-1 = 3鈭1/x
  10. x ^ (1/10) = 10鈭歺
  11. x ^ (5/3) = 3鈭歺^5
  12. 6鈭歺^6 = x^(6/6) = x

Es hora de poner la clase en 1.5x 馃槇

Me parece una genialidad todo esto

la verdad ni en el colegio ni en la universidad, hab铆a podido entender, excelente clase

que buen curso muy facil de entender

Leyes de los exponentes

Excelente clase:
Nota: La potencia o exponente con la radicacion, son operaciones inversas (como la suma y la resta), es por eso que cuando tenemos:

6x**6 = x

Pues es equivalente a que digamos 6/6 = 1
6 - 6 = 0 + 6 = 6

al multiplicar con fracciones o tambi茅n fracciones con enteros se multiplica de_ frente_, es decir, numerador con numerador y denominador con denominador.
Y la** divisi贸n** es cruzada, numerador con denominador y denominador con numerador.

Falta agregar las restricciones o condiciones que tiene que tener X para que cumpla las leyes de exponentes cuando los exponentes son fracionarios(proveniente de una raiz) con denominador par, en ese caso que X sea mayor e igual que 0 ya que no existe raiz de un numero negativo en el conjunto de los numeros reales.

Estar铆a bueno comentar que no siempre se puede simplificar el exponente fraccionario como muestra en el 煤ltimo ejemplo , a menos claro, que especifique que x mayor o igual a 0. O que vamos a trabajar con el conjunto de n煤meros imaginarios. Ya que una ra铆z no puede desprender un valor negativo:

para los que piensan que en el minuto 10:21 est谩 mal, aqu铆 la demostraci贸n:

Aprend铆 que cuandos e eleva a una cantidad negativa, esto se puede expresar como 1 sobre la misma cantidad (en positivo)

Por buenas practicas operacionales, en matem谩ticas, se recomienda siempre expresar los resultados en la forma simplificada.

muy buenas estas clases, gracias por explicar de manera sencilla y con tantos ejemplos.

base elevada a una potencia
elevado a otra potencia.
una expresi贸n en forma de ra铆z es mejor pasarla a fracci贸n
en exponente de la base va a ser nuestro numerador y el radical de nuestra ra铆z ser谩 el denominador.
Las frases anteriores las tienen en su descripci贸n, todas son incorrectas y por lo tanto nada did谩cticas.

Est谩n confundiendo todo : potencia con exponente, radical con indice y forma de quebrado con fracci贸n.
Sean m谩s serios y propios en sus explicaciones, por favor.

Es importante el uso del exponente fraccionario porque nos ayuda a simplificar a la vez potencia y ra铆z, lo cual nos reduce la expresi贸n.

Muy buen tema el desarrollado en esta sesi贸n.

Para unificar el valor de las fracciones siempre se multiplica su numerador con numerador y denominador con denominador, es diferente a las sumas o restas de fracciones donde se multiplican en forma de cruz el numerador de una fracci贸n con el denominador de la fracci贸n siguiente.

Esto es lo que yo utilizo para recordar qu茅 operaci贸n utilizar con los exponentes.

Si un exponente es afectado por una operaci贸n, el resultado ser谩 aplicar la operaci贸n 鈥淎nterior鈥.

Por operaci贸n anterior me refiero a que, por ejemplo, la suma es la operaci贸n anterior de la multiplicaci贸n, la multiplicaci贸n lo es de la potencia, etc.

Por ejemplo

//Aqu铆 los exponentes se est谩n multiplicando, por lo que la operaci贸n "Anterior" corresponder铆a a la suma
(a^2) (a^3) = a^5

Otro ejemplo, ahora con la potencia de una potencia.

//Aqu铆 los exponentes se est谩n elevando, por lo que la operaci贸n anterior corresponder铆a a la multiplicaci贸n
(a^2)^3 = a^6

Excelente clase, todo entendido.

Increible que este estudiando esto, me encanta! Una genia la profe

Me gust贸 toda la explicaci贸n profesora.

Gracias profe Marce por dekar claro este tema de las potencia y radicacion鈥 seguiremos con el curso.

Thanks 馃槂

multiplicaci贸n de potencias

(a/b)(c/d) =ac/bd

Esto no lo sab铆a 馃槷

Genial! Ya no me acordaba de estas cosas.

Al punto

Bien explicado.

buenas explicaciones. Gracias.

Radicales = ra铆ces.

Estos ejercicios son una nostalgia ya que te permitiran a darte la logica en la descompocision de derivadas e integrales.

0:04 / 6:52鈥aludo # Potencia de radicales | Ejemplo 1 <https://www.youtube.com/watch?v=Mk81I9L8awg>
ERES MUY BUENA
**隆Que bien explica! Excelente manejo de las informaci贸n.**

La potencia de una potencia se logra al multiplicar los exponentes de la base y el exponente externo. La radicaci贸n, por otro lado, es la operaci贸n inversa de la potenciaci贸n y nos ayuda a encontrar ra铆ces de n煤meros. Para simplificar una expresi贸n de potencia de una potencia, multiplicamos los exponentes si las bases son iguales. En la radicaci贸n, convertimos la ra铆z en una fracci贸n y el exponente de la base se convierte en el numerador, mientras que el 铆ndice del radical es el denominador.

Marcela, usted es simplemente brillante. Me record贸 a JulioProfe, su metodolog铆a es impecable.

Ley de los exponentes (potenciaci贸n y radicaci贸n)

Ley de potencia de una potencia:
Esta ley establece que, al elevar una potencia a otra potencia, se multiplica los exponentes. La expresi贸n general de esta ley es la siguiente:
(a^m)^n = a^(m*n)

Esto significa que cuando una potencia est谩 elevada a otra potencia, se multiplican los exponentes para obtener el nuevo exponente.

5. Leyes de los exponentes: Potencia de una Potencia y Radicaci贸n

Potencia de una potencia

Una base con exponente elevada a otra es igual a la base elevada a la multiplicaci贸n del exponente de la base por el exponente inicial

Radicaci贸n

鈭歺 = x ** 1/2

Simplificar es una buena pr谩ctica para tratar de trabajar con valores simplificados que no se agranden mucho, sin embargo, el tener claridad del concepto de igualdad es importante, ya que lo que tienes al principio y al final es distinto, la diferencia es que est谩s simplificando una expresi贸n a su m铆nima representaci贸n en base al conocimiento que te han brindado a nivel del curso que recibes.

Cabe mencionar que 0^0 o sea exponente cero, es una indeterminaci贸n, esto quiere decir, sin un resultado en los n煤meros reales...

Radical de Raiz

a^15
x^-6 贸 1/x^6
x^12
y^1/3
y^1/6
z^-2 贸 1/z^2
x^3
x^2/3
v3x^ = v3^1/x
v10/x
v3x^5
x^6/6 贸 x

Una clase exclarecedora, por que cuando yo veia radicales y esponentes as铆 en una ecuacion, me ponia practicamente atemblar y resulta que no es tan dificil cuando alguien como la profesora Marcela te lo explica de manera ta sencilla. Gracias y a continuar.

No puedo creer que pas茅 tantos a帽os en educaci贸n tradicional rompi茅ndome la cabeza por entender esto, y la profesora Marcela lo explica taaaaan f谩cil que no me puedo creer que realmente lo estoy entendiendo a la primera

Potente

La ley de la potencia de una potencia establece que cuando se eleva un n煤mero con exponente a una potencia, se puede multiplicar los exponentes. Por ejemplo:

(3^4)^5 = 3^(4*5) = 3^20

La ley de la radicaci贸n establece que cuando se extrae una ra铆z de un n煤mero con exponente, se puede dividir el exponente entre el 铆ndice de la ra铆z. Por ejemplo, si queremos sacar la ra铆z cuadrada de un n煤mero con exponente 8, podemos hacer lo siguiente:

(3^8) = 3^(8/4) = 3^2 = 9

隆Muchas gracias profesora por esta clase!

no siempre es necesario convertir ra铆z a exponente tambi茅n se puede operar con las ra铆ces

Muchas gracias, buen contenido.

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Mis apuntes de NOTION sobre radicaci贸n

Me parece genial, b谩sicamente es cambiar ordenes y multiplicar.

esto es muy 煤til
me gusta !!

Me quedaron mucho mas claro las reglas de la potencia y radicacion!

Creo que falta aclarar esas excepciones, algunas reglas solo son validas para valores de x >= 0

Por fin le tomo mayor gusto a las matem谩ticas, en el colegio fueron un dolor de cabeza. En Platzi no. Lo mejor de lo mejor.

Gracias.

leyes de exponentes
potencia de una potencia se multiplican los exponentes
radicaci贸n se convierte en el denominador de la ra铆z

muy buena explicaci贸n me encanta la profe

excelente clase,aprendi mucho mas aqui que en el cole
馃ぃ馃ぃ馃ぃ馃ぃ

esta Link nos ayuda a complementar la parte de aritm茅tica y algebra. https://es.slideshare.net/matematicasdivertidas1/operaciones-algebraicas-6097607

Estoy entendiendo mejor que en secundaria .

Este video sirve para complementar con la explicaci贸n de operaciones de fracciones

https://www.youtube.com/watch?v=LgMptyzudXU

gran explicacion profe!! muvhas gracias

en potencia de una potencia se deja la base y se multiplican los exponentes

Amo todos los cursos que hay, no se ni cuando voy a terminar.

Excelente explicaci贸n! 馃槂

excelentes ejemplos

Se entiende todo perfecto

Gran clase!