Curso de Álgebra

Curso de Álgebra

Marcela Valenzuela Gómez

Marcela Valenzuela Gómez

Leyes de los exponentes: Multiplicación y División

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Recursos

La multiplicación y división de exponentes es un tema simple, pero no intuitivo. Se da una variedad de casos, pues los exponentes pueden ser números naturales, negativos y hasta fracciones. Si no sabemos resolverlos, podemos tener complicaciones más adelante para la resolución de ecuaciones algebraicas.

¿Qué es un exponente?

La función de un exponente es indicarnos cuántas veces se multiplica por sí misma nuestra base
Cuando tenemos cualquier expresión o elemento elevado a una potencia cualquiera, al elemento lo llamamos base y al número pequeño que aparece encima de la base se le llama exponente.

En un término que tenga una variable y una constante multiplicándose, hay que tener mucho cuidado el exponente a quién está afectando, ya que si está acompañando solo a la constante, es ella quién será multiplicada por sí misma; si toda la expresión está encerrada en un paréntesis y la potencia está por fuera, entonces todo el término deberá ser elevado a la potencia indicada.

¿Cuáles son las leyes de los exponentes?

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  • Multiplicación: Cuando tenemos la misma base y exponentes iguales o diferentes. La regla es sumar los exponentes.
  • División: Es más fácil expresar la división como una fracción porque identificamos nuestra base y su exponente. La regla es que al exponente del numerador (el que está arriba) le restamos el exponente que está en el denominador (el que está abajo).

Cualquier elemento diferente a 0 elevado a la potencia cero, es igual a uno.
Contribución creada con los aportes de: Mayra López.

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En este video se explica por que elevar un numero a 0 da 0

El por qué de que x⁰ sea igual a 1 es facil de explicar. Tomando como base el 2 (pero puede ser cualquiera) tenemos que sus potencias son:

2⁰ = 1
2¹ = 2
2² = 4
2³ = 8
2⁴ = 16


Pero podemos saber la potencia anterior a cualquiera de estas de la siguiente forma:

Tomemos 2⁴ = 16 y lo dividimos entre la base, que en este caso es 2. Tenemos que 16 / 2 = 8, o sea , justo la potencia anterior a 2⁴.

Si repetimos el proceso tenemos: / 2 (que es lo mismo que 8 / 2) es igual a 4, es decir . Luego / 2 = 2, es decir . Y, finalmente, / 2 = 1, que es 2⁰. 😉

Aquí esta el enlace al video de Khan Academy en YouTube donde lo explican paso a paso 👉🏻
https://youtu.be/5kDxPkLiHeI

Creo que todos necesitamos un Curso básico de Fracciones, para que nos salga tan natural como sumar (me quede loco cuando dice “tres enteros equivale a seis medios” )

de pronto les parece mejor sumar y restar fraccionarios de este modo.

mi duda es respecto a todos los cursos ¿Porque dicen que si tenemos una duda que la dejemos abajo en los comentarios si ellos nunca responden? siempre es la propia comunidad la que responde, tengo esa duda.

Considero que ciertos temas que se están dando en le “Curso de Álgebra”, sean dados en los fundamentos de las matemáticas, ya que son de cierta manera esenciales, es decir, fundamentales.

Esta bien, me gustaría un poco más organizado sobre los porqués más básicos como vimos en el módulo anterior del profe Sergio. Estuvo buena la clase, los comentarios de los compañeros también ayudaron un montón!

hola profe gracias por la explicacion esta super interesante la clase…

Hola profe, tengo una pregunta
(95+23+43) a la 0 =1 ? o
=(1+1+1)=3
(perdón no sé escribir a la cero)

Resumen.

Atención, quizás este resumen sea complicado, te recomiendo leerlo con detenimiento

  1. Sea a cualquier número:
    a^0 = 1.

Multiplicación
2. Sea a un número cualquiera, n y m exponentes:
(a^n)(a^m) = a ^ n + m

División
3. Sea a un número cualquiera, n y m exponentes, a ≠ 0;
a ^ n / a ^ m = a ^ n - m
NO USES NUNCA a = 0, después tú me dices porqué

Raíces
4. Sea a un número cualquiera, n y m exponentes,
a <= 0 cuando n es par y m impar
a puede tomar cualquier valor cuando n es impar
Después me dices porqué a no puede ser negativo para raíces pares

a ^ n / m = n√a ^ m

  1. Sea a un número cualquiera, n un exponente,
    a ^ -n = 1 / a ^ n

  2. Cualquier cosa (xD) elevada a la 1 siempre va a ser esa misma cosa:
    a ^ 1 = a

nunca pensé que había olvidado estas cosas, gracias por la clase profe

Aquí les comparto mi aportación con demostraciones, espero les sirva, además, siéntase libres de corregir o añadir algo que haya pasado por alto. .ヾ(•ω•`)o

De no saber MATEMATICAS (en general, ósea contando aritmética) a Preparándome con platzi desde 0 para mi examen de ingreso al IPN en la ESCOM (Escuela Superior De Computación) A la carrera de Ingeniería en Inteligencia Artificial = Machine Learning. Yo creo en mi y se que voy a pasar, cualquier update lo escribo en los comentarios

excelentes clases !

En la segunda división, del minuto 13:06, el resultado es x^-5 en vez de ser x^-3 porque

Leyes de los exponentes
base elevada a una potencia/exponente
Una expresión elevado a la cero será cinco.
Multiplicación: La misma base y exponentes iguales o diferentesse suman los exponentes.
División: Es más fácil expresar la división como una fracción porque identificamos nuestra base y su exponente. La regla es que al exponente del numerador le restamos el exponente que está en el denominador(D de denominador es D de debajo). Y^9/Y^7 = Y ^2

Por qué es que se pasa a positivo X^-5 pasando la expresión al denominador (1/x^5) ?

![](

muy buena clase

Muchas gracias.

Mu buena explicación

no podemos multiplicar manzanas por peras ni zapatos por libros pero si podemos multiplicar manzanas por manzanas y libros por libros

Al fin entendí después de tantas clases de álgebra en la escuela 😉 ¡Muchas gracias!

buena clase!

Querría preguntar:
Se cumple siempre que x^n = n^x ?
Hay algún caso en que esa igualdad no se cumpla?
Gracias.

Super buena clase, no me sabia el truco para pasar el exponente a positivo.

De las clases del profe Sergio 📚🍎✨
El por qué un numero a la 0 es = 1:

Siempre he tenido problemas con el tema de fracciones jaja pero para eso estamos acá, para seguir aprendiendo🤓

Ejemplos adicionales📚:

Mi resumen NOTION sobre la potenciación

Super recomendado ver el siguiente video, para no solo resolver, sino, también entender

no me acordaba casi de nada de esto, gracias

una pregunta por que en el ejercicio dos de las divisiones el denominador si estaba positivo lo pusiste negativo?

En el último ejercicio de x^1/4 / x^2/3 sería correcto decir que:

x^1/4 / X^1/2 = X^-2/8

Espero sus grandes respuestas y les agradezco.

Gracias Marce. Una duda, por que el exponente 3 es igual a 6/2. Y de ser otro número en lugar del 3 por ejm 4 qué fracción sería? gracias.

Demostración matemática de que todo término elevado a la cero da 1.

Sea “x” un numero real cualquiera excepto cero 0 se tiene:

x ahora sea “a” un numero real cualquiera que sea el exponente de x, se tiene:

xª ahora dividimos a entre él mismo, y por ley de los exponentes, se tiene:

= xª-ª entonces como toda expresión dividida entre ella misma da 1

y la ley de los exponentes dice que en la división los exponentes se restan, tenemos que:

1 = xº

Esta es la demostración matemática de la igualdad xº = 1

Es necesario, aunque uno no crea hacer todos los pasos necesarios, con el fin de no perderse en el proceso, ya que a veces por obviar cosas, se pierde

La suma de fracciones se lleva muy facil,si es que alguien tiene dudas con de minicomun multiplo

solo se hace esto:

  1. Se multiplica denominador por denominador

2.Se multiplica el numerador de la izquierda por el denominador de la derecha

4.Se multiplica el numerador de la derecha por el denominador de izquierda

Bueno, la explicación es clara, aunque es mejor escribir con un lápiz y no con el mouse que a veces no se aprecia bien los números. Pero es un tremendo resumen de lo aprendido en el colegio.

Les comparto el resumen de la clase en una imagen, espero que te sea de ayuda:

Excelente clase sobre exponentes, resumió mi primaria en 15 minutos.

Gracias

Yo tengo una duda… ¿Y si elevamos 0 a la 0?

0^0

Numerador es el número de arriba y Denominador el de la parte de abajo

Que recuerdos

Gracias por la clase

0^0 es la excepción a esa regla de potencias, ya que cero a la potencia cero tiende a ser 1 pero jamas sera 1

hay algún tip, de cual de las leyes se puede usar, es decir que es secuencial???

genial

Exelente clase y me trae recuerdos de la secundaria y preparatoria y de lo complicado que en ese momento se me hacia, pero como todo o la mayoria de problemas matematicos con practica se solucionan.

Recordar es vivir.

La única excepción de la potenciación a 0 es 0, porque el patrón de x^x es irregular y con el principio de 0^(x)/0^(x) queda 0/0, lo cual es indeterminado.

Para sumar fracciones, ya sea en los exponentes o en operaciones algebráicas, pueden usar el método de la sonrisa o el del maximo comun divisor

Leyes de los exponentes
Las leyes de los exponentes son reglas matemáticas que nos permiten realizar cálculos con números que tienen exponentes de manera más fácil y rápida. Estas leyes nos ayudan a hacer cálculos con exponentes de manera más sencilla y eficiente.

  • Multiplicación
    Cuando tenemos la misma base y los exponentes sean iguales o diferentes, vamos a sumar los exponentes.
  • División
    Esta se expresa como un cociente, donde el exponente que está en el denominador la vamos a restar con el denominador

les aporto un resumen que tengo
![](

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Hola chicos, tengo una duda:

  • En el minuto 14:40, para positivisar el exponente, la expresión pasa como denominador, pero, ¿No que se invertía todos los signos del exponente, es decir, no quedaría X**(1/-4)? El cuatro quedaría negativo, ¿no?. Si no es así ¿me explican porqué porfavor?

a veces mi cerebro se apaga, como dijo @freddier en una Platzi Live.

Explicación de porque exponentes negativos se convierten en divisor con exponente positivo
.
Un exponente negativo (al contrario que uno positivo) nos indica cuántas veces dividir por ese número.
.
P.e.: 8^(-1) = 1 ÷ 8 = 1/8 = 0,125
.
O muchas divisiones:
.
P.e.: 5^(-3) = 1 ÷ 5 ÷ 5 ÷ 5 = 0,008
.
Pero se puede hacer de una forma más fácil:
.
5^(-3) = 1 ÷ (5 × 5 × 5) = 1/5^3 = 1/125 = 0,008

Una forma (según yo) mas fácil de hacer divisiones con diferentes denominador.

Juega con el numerador y el denominador si los multiplicas de forma consistente no habrá cambio en el resultado final, hazlo de forma en que de ambos lados de la suma de fracciones tengas el mismo denominador, y luego haz la suma correspondiente de los numeradores, por ultimo reduzca la fracción a su mínima expresión (opcional) y listo, ya tiene una bonita fracción 😄

El resultado de 11/10 es 1.1, pero lo podemos expresar como una fracción mixta de forma que quede
1 + (1/10).

Espero haberme explicado bien, no soy de los que suelen explicar estas cosas 😅

Muchas gracias, buen contenido.

Veo dudas de por que el exponente negativo se hace positivo al bajar al denominador
a como yo lo entiendo trataré de explicar el por que con el siguiente ejemplo

La solución paso a paso del cuarto ejercicio es la siguiente:

Demostración que explica la razón por la cual un número elevado a la cero siempre es igual a 1

Ejercicios sin haber visto el resultado:

  1. x^2 * x^6 = x^8
  2. [x ^ (1/2)] * x^3 = x ^ (7/2)
  3. z^3 * z^-2 = z
  4. a^-4 * (3a^2) = 3 / a^2
  5. [x ^ (2/3)] * [x ^ (1/4)] = x ^ (11/12)
  6. (x^10) / (x^6) = x^4
  7. (x^-4) / (x) = x^-5 = 1 / x^5
  8. (x^2) / (x^6) = x^-4 = 1 / x^4
  9. [x^(1/4)] / [x^(1/2)] = [x^-(1/4)] = 1 / x^(1/4)

Al final estaba confundida por las operaciones entre fraccionarios ya que la profesora los simplifica de una vez en el resultado, sin embargo yo hago la operación habitual entre fracciones de suma y resta y luego simplifico al final, lo que da los mismo resultados.

Los “truquitos” sin explicación es lo que luego crea lagunas en el entendimiento. Por eso luego los alumnos batallan en temas más complejos.

Muy bueno ejercicios para poner en practica!

donde puedo practicar alguien sabe

Cabe aclarar que x^0=1 se cumple para todo valor DISTINTO de cero (0). Gracias por la explicación.

Sería bueno que hubiera algún material que enseñara a operar entre fracciones, ya fuera en este curso o en el de fundamentos de matemáticas, definitivamente es un tema que se vuelve necesario y no nos han aportado esas bases.

Estas son mis notas de esta clase, espero que les ayude de algo, tómenlo como un pequeño resumen.

base por potencia
cuantas veces se multiplica la base por la potencia
toda expresión elevada a la 0 el resultado es igual 1

multiplicación
misma base se suman los exponentes
división
misma base se resta los exponentes

añado alfunos detalles: existen las sumas homogenias en las fracciones, que son basicamente las que tienen igual denominador ejemplo "2/5 + 1/5", esas sumas son faciles de resolver porque solo sumas los numeradores de arriba y el denominador permanece igual "1/5 + 2/5 = 3/5. entonces sabiendo esto, cuando sumamos una fraccion con un entero ejemplo "1/2 + 3", podemos convertir ese entero en fraccion (poniendole 1 debajo) "3/1" y escribirlo de forma que nos de una suma homogenia, y es "6/2" multiplicando por 2 arriba y abajo, que simplificandolo, es lo mismo, y así lo hacemos mas rapido "1^2+6/2 = 7/2".

0 elevado a la 0
La primera parte asusta!

genial en la secundaria no me explicaron tan bien como aquí

Excelente clase.

Esta es la explicación de por qué un exponente negativo pasa a ser positivo mediante una fracción

BUEN VIDEO

• a^n * a^m = a^n+m
• a^n / a^m = a^n-m
• a^1 = a
• a^0 = 1
• 0^n = 0
• 0^0 = ∞ indefinido
• (a^n)^m = a^n*m
• (a/b)^n = a^n / b^n
• a^-1 = 1/a (a ≠ 0)
• (a/b)^-1 = b/a
• a^-n = 1/a^n (a ≠ 0)
• (a/b)^-n = b^n/a^n

OK. Me queda claro

A a la cero = 1

Siempre y cuando, A sea diferente de 0

Las potencias en fracciones, tambien pueden ser representadas como raíz.

x^1/2 = √x

Ambos representan el mismo valor.

Casi todas las expresiones a la potencia 0 es 1. Por ejemplo: [(8+3)0]^0 no es uno... Tampoco (3-3)^0 no es uno...

bajísimo el audio

Esta interesante la clase a veces me confundo luego recuerdo o leo sus aportes y se me aclaran las dudas gracias

Muchas gracias!! Muy buena explicación 😄

Me siento como en los primeros años de la secundaria. 😄

Felicidades! Se nota que le pones mucho empeño a tu clase.

Muchas gracias!

domino casi todo,con excepción de leyes de los exponentes, dios que ejercicios, mas complicados inclusive me queme como auxiliar de calculo.

Gracias!

mejorar las pizarra digitl

Hasta el momento perfecta la explicación, son cosas que hace mucho tiempo no veía pero esta super.

Muchas gracias.

denominador=debajo xD