Curso B谩sico de C谩lculo Diferencial

Curso B谩sico de C谩lculo Diferencial

Mart铆n E. Carri贸n Ramos

Mart铆n E. Carri贸n Ramos

Funciones, dominio y rango

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Recursos

Las funciones son elementos fundamentales cuando trabajamos con c谩lculo diferencial; por este motivo, en esta secci贸n vamos a estar revisando algunos conceptos importantes sobre funciones, dominio y rango.

驴Qu茅 es una funci贸n?

La funci贸n es una regla que relaciona a un conjunto de entradas con un conjunto de posibles salidas, donde a cada elemento en la entrada le corresponde 煤nicamente un elemento de la salida.

En consecuencia, vamos a entender una funci贸n como una regla que nos va a permitir combinar dos conjuntos: un conjunto de entrada y un conjunto de salida. Esta regla est谩 constituida por la serie de m茅todos o condiciones que permiten combinar ambos conjuntos.

Las funciones se expresan mediante la letra y, o con el s铆mbolo f(x) indistintamente:

y = f(x)

Donde:
y representa el resultado de la regla o elemento de salida.

f es el nombre de la funci贸n. f no es otra cosa m谩s que abreviar funci贸n, pero no es la 煤nica letra que podemos utilizar. Por ejemplo, si se desea hablar de aceleraci贸n, probablemente se emplear铆a la letra a. Si se habla de velocidad, probablemente se usar铆a la letra v.

x es la variable que vamos a alimentar. Es el conjunto de datos de entrada.

En consecuencia, lo que vamos a estar haciendo es alimentar a esta regla con datos de entrada (x) para obtener datos de salida (y). De tal manera, que x representa los valores de la recta num茅rica en el eje horizontal, mientras que y viene a representar los valores en el eje vertical, tal como se muestra en la siguiente imagen:

f(x).jpg

驴Qu茅 es una funci贸n lineal?

Ahora, vamos a revisar la funci贸n lineal, entendida esta funci贸n como la familia de todas las l铆neas que se pueden trazar sobre el plano cartesiano.

f(x) = mx + b

o lo que es igual:

y = mx + b

Si te fijas aqu铆 hay tres elementos: y, mx y b. Donde,

  • La y representa los resultados de salida. La y tambi茅n se representa como f(x)

  • La m es la pendiente, es decir, c贸mo se inclina esta l铆nea

  • La x son los datos de entrada

  • La b es el lugar donde esa l铆nea va a cruzar el eje vertical o eje de las y. Este punto b lo vamos a llamar la intersecci贸n con el eje de las y

驴Qu茅 es el dominio?

El dominio es el conjunto de valores que una funci贸n admite para ser procesados (las entradas).

Conjunto.png

En la imagen de conjuntos anterior, hay que hacer una distinci贸n entre los dos tipos de x: una X may煤scula y una x min煤scula.

La X may煤scula son todos los valores que se pueden asignar a la funci贸n, mientras que la x min煤scula son los valores individuales. la X may煤scula es el conjunto de todos los valores y la x min煤scula son elementos seleccionados dentro de ese conjunto para alimentar la funci贸n.

Esta x min煤scula representa el dominio. El dominio son los valores que se van a ingresar como valores de la funci贸n.

Codominio y rango de la funci贸n

El codominio son todos los posibles valores que resultan de una funci贸n, los cuales se van a representar con Y may煤scula.

Rango son los valores que resultan de forma pr谩ctica, ya no estamos hablando de un conjunto total sino de un subconjunto del codominio. Estos valores a los que vamos a llamar valores positivos o pr谩cticos representan el rango y se van a representar con la y min煤scula.

Volviendo a la imagen de conjuntos anterior, el dominio (x) se encuentra en el lado izquierdo y el codominio (Y) en el lado derecho. Las flechas representan los valores que est谩n conectando a un conjunto con el otro, y ese peque帽o elemento m谩s peque帽o que est谩 del lado derecho representado por un peque帽o 贸valo es el rango. Es decir, el rango es una parte del codominio.

Ejercicio pr谩ctico de funciones

Vamos a realizar un ejercicio pr谩ctico para visualizar mejor todo lo visto hasta este momento. Supongamos la funci贸n siguiente:

f(x) = 2x + 1

Hallar los valores de f(x) para x igual a 1, 2, 3 y 4.

Dominio. Codominio. Rango.png

En este caso pr谩ctico, se identifican claramente los siguientes elementos:

  • La funci贸n f(x) = 2x + 1
  • Valores de entrada x que conforman el conjunto del dominio
  • Un conjunto de 10 posibles salidas conformado por el codominio
  • Valores espec铆ficos de salida (y) o f(x) que representan el rango, el cual es un subconjunto del codominio

驴Con cu谩les funciones vamos a trabajar?

Durante el curso se va a trabajar con dos grandes conjuntos de funciones:

  • Las funciones de tipo algebraico
  • Las funciones de tipo trascendente

Funciones de tipo algebraico

Las funciones algebraicas se pueden escribir en t茅rminos de operaciones algebraicas (potenciaci贸n, radicaci贸n, suma, resta, multiplicaci贸n, divisi贸n). Por ejemplo:

y = 3x^2 z

Esta expresi贸n algebraica en realidad est谩 represent谩ndonos algo que se encuentra simplificado, pues esta expresi贸n lo que nos est谩 indicando es que tenemos repetida tres veces la expresi贸n x^2z, es decir:

y = 3x^2 z = xxz + xxz + xxz

Pues, la x^2 es una simplificaci贸n de la multiplicaci贸n de x por x. Entonces, nos indica que una funci贸n algebraica podemos separarla en otros elementos.

Funciones de tipo trascendente

La funci贸n trascendente es una funci贸n que no satisface una ecuaci贸n polin贸mica cuyos coeficientes sean a su vez polinomios; esto contrasta con las funciones algebraicas, las cuales satisfacen dicha ecuaci贸n.

En las funciones trascendentes la variable independiente figura como exponente, o como 铆ndice de la ra铆z, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometr铆a.

El siguiente es un ejemplo de una funci贸n trascendente:

y = 2^x

Esta funci贸n nos muestra un problema, pues, anteriormente dec铆amos que una x^2 representaba la multiplicaci贸n de x por x, pero en 2^x surge la pregunta 驴cu谩ntas veces se va a multiplicar el 2 por s铆 mismo?

La respuesta es que no lo sabemos; entonces si te fijas la forma de escribir esta funci贸n es 煤nica, es especial, porque no se puede separar en otros componentes. Por esta raz贸n, no podemos entonces confundir las funciones trascendentes con las funciones algebraicas.

Contribuci贸n creada con aportes de: Avilio Mu帽oz Vilchez.

Aportes 21

Preguntas 3

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Una funci贸n nos permite conocer el valor de una variable cuando otra cambia. Cada una tiene un nombre:

  • Variable independiente, la que se va a ir modificando.
  • Variable dependiente, la que se modifica por el valor de la variable independiente

El dominio el grupo de valores que puede adquirir la variable independiente.
El codominio son los valores que resultan de cambiar el valor de la variable independiente en la funci贸n.
El rango es el conjunto de valores en el que tenemos inter茅s.

Elementos de una funci贸n

Las funciones son como m谩quinas a las que se les introduce un elemento x y devuelven otro valor y, que tambi茅n se designa por f(x). Por ejemplo, la funci贸n f(x) = 3x2 + 1 es la que a cada n煤mero le asigna el cuadrado del n煤mero multiplicado por 3 y luego sumado 1

funciones algebraicas
Funci贸n Cuadr谩tica: f(x) = ax2 + bx + c.
Funci贸n C煤bica: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d

Una funci贸n es una relaci贸n entre dos conjuntos. El conjunto de los n煤meros originales se llama conjunto de partida y el conjunto de lo que se obtiene como resultado se llama conjunto de llegada

Para que la relaci贸n sea una funci贸n, debe cumplir las siguientes condiciones:

  • Cada elemento del conjunto de partida tiene una 煤nica imagen.

  • Todos los elementos del conjunto de partida est谩n relacionados con alg煤n elemento del conjunto de llegada.

Funciones Algebraicas:

Es una funci贸n que satisface una ecuaci贸n polin贸mica, y a su vez, la variable independiente tiene que efectuar operaciones algebraicas como suma, resta, multiplicaci贸n o divisi贸n.


Funciones Trascendentes:

En las funciones trascendentes la variable independiente figura como exponente, 铆ndice de la ra铆z, cuando la acompa帽a el signo de logaritmo o cualquiera de los signos trigonom茅tricos.

m谩s info. 馃憞馃徎
Funciones Algebraicas
Funciones Trascendentes

soy inge y amo este curso.
uwu

Me gusta la forma en como el profe explica los conceptos de manera emp铆rica. 馃槈

Excelente gran explicaci贸n. Sinceramente nunca hab铆a entendido que era el rango. Siempre pens茅 que era lo mismo que el codominio.

las funciones son de mis cosas favoritas en las matematicas che

funciones explicadas por dibujitos

funciones explicadas por dibujitos

Aqu铆 les comparto una imagen que encontr茅, donde se ilustra los conceptos de la clase. Se puede observar que en este caso la funci贸n o la regla ser铆a el n煤mero de lados de las figuras que se encuentran en el dominio.

aprendi mas aqui que en la escuela, este tipo de profesores son los que deber铆an ense帽ar en la escuela, sin duda me hubiera encantado tenerlo como maestro
tiempo bien invertido

Una explicaci贸n bastante concisa sobre la definici贸n de funciones y la diferenciaci贸n entre funciones algebraicas y funciones trascendentes.

Regla de correspondencia que relaciona un conjunto de entradas/variables independientes (dominio) con, y al que pertenece s贸lo un elemento de las variables dependientes/salida (codominio/contradominio).

El maestro explica muy bien, me hubiera gustado tenerlo de maestro en la prepa y en la uni

驴Qu茅 es una funci贸n?
Es una regla que relaciona a un conjunto de
entradas con un conjunto de posibles salidas,
donde a cada elemento en la entrada le
corresponde 煤nicamente un elemento de la
salida.

Una funci贸n en su forma mas elemental es simplemente una asignaci贸n entre los valores de un conjunto a los valores de otro conjunto.
Estas asignaci贸n puede estar expresada de forma literal o mediante una regla de correspondencia por ejemplo:

f(x) = | 2 si x = 1
.      | 3 si x = 4
.      | 6 si x = 2

En este ejemplo la asignaci贸n es de forma literal, se dice cual elemento del codominio le corresponde a cada elemento del dominio.

g(x) = x^2

En este ejemplo se usa un regla de correspondencia, lo que literalmente se esta diciendo es: El valor que le corresponde a un n煤mero es el resultado de elevarlo al cuadrado.

Y finalmente podemos combinar estas dos forma des escribir funciones

abs(x) = | x si x >= 0
.        | -x si x < 0

En este ejemplo tenemos la definici贸n de la funci贸n valor absoluto, la cual usa una regla distinta dependiendo si la x es mayor o menor que 0