Introducción
¿Para qué sirve el cálculo?
Funciones, dominio y rango
Tipos de funciones
Cómo identificar dominio y rango de una función
Límites
El concepto de límite
Solución gráfica de los límites
Tipos de límites
Resuelve límites algebraicamente
Continuidad
La derivada
La derivada gráficamente
La definición de derivada
Obtención de derivadas utilizando la definición
Interpretando la derivada gráficamente
Derivadas de funciones algebraicas
Derivadas de una función constante y de una función con un multiplicador constante
Derivada de una función potencia
Derivada de una suma o resta de funciones
Derivada de un producto de funciones
Derivada de cociente de funciones
Derivadas de funciones trascendentes
Derivadas de funciones trigonométricas
Derivada de funciones exponenciales
Derivada de funciones logarítmicas
Bonus
Así usamos cálculo en la vida real
Regla de cadena
Qué son las funciones compuestas
Derivadas de funciones compuestas
Conclusión
Continúa con el curso de cálculo aplicado
Las funciones son elementos fundamentales cuando trabajamos con cálculo diferencial; por este motivo, en esta sección vamos a estar revisando algunos conceptos importantes sobre funciones, dominio y rango.
La función es una regla que relaciona a un conjunto de entradas con un conjunto de posibles salidas, donde a cada elemento en la entrada le corresponde únicamente un elemento de la salida.
En consecuencia, vamos a entender una función como una regla que nos va a permitir combinar dos conjuntos: un conjunto de entrada y un conjunto de salida. Esta regla está constituida por la serie de métodos o condiciones que permiten combinar ambos conjuntos.
Las funciones se expresan mediante la letra y, o con el símbolo f(x) indistintamente:
y = f(x)
Donde:
y representa el resultado de la regla o elemento de salida.
f es el nombre de la función. f no es otra cosa más que abreviar función, pero no es la única letra que podemos utilizar. Por ejemplo, si se desea hablar de aceleración, probablemente se emplearía la letra a. Si se habla de velocidad, probablemente se usaría la letra v.
x es la variable que vamos a alimentar. Es el conjunto de datos de entrada.
En consecuencia, lo que vamos a estar haciendo es alimentar a esta regla con datos de entrada (x) para obtener datos de salida (y). De tal manera, que x representa los valores de la recta numérica en el eje horizontal, mientras que y viene a representar los valores en el eje vertical, tal como se muestra en la siguiente imagen:
Ahora, vamos a revisar la función lineal, entendida esta función como la familia de todas las líneas que se pueden trazar sobre el plano cartesiano.
f(x) = mx + b
o lo que es igual:
y = mx + b
Si te fijas aquí hay tres elementos: y, mx y b. Donde,
La y representa los resultados de salida. La y también se representa como f(x)
La m es la pendiente, es decir, cómo se inclina esta línea
La x son los datos de entrada
La b es el lugar donde esa línea va a cruzar el eje vertical o eje de las y. Este punto b lo vamos a llamar la intersección con el eje de las y
El dominio es el conjunto de valores que una función admite para ser procesados (las entradas).
En la imagen de conjuntos anterior, hay que hacer una distinción entre los dos tipos de x: una X mayúscula y una x minúscula.
La X mayúscula son todos los valores que se pueden asignar a la función, mientras que la x minúscula son los valores individuales. la X mayúscula es el conjunto de todos los valores y la x minúscula son elementos seleccionados dentro de ese conjunto para alimentar la función.
Esta x minúscula representa el dominio. El dominio son los valores que se van a ingresar como valores de la función.
El codominio son todos los posibles valores que resultan de una función, los cuales se van a representar con Y mayúscula.
Rango son los valores que resultan de forma práctica, ya no estamos hablando de un conjunto total sino de un subconjunto del codominio. Estos valores a los que vamos a llamar valores positivos o prácticos representan el rango y se van a representar con la y minúscula.
Volviendo a la imagen de conjuntos anterior, el dominio (x) se encuentra en el lado izquierdo y el codominio (Y) en el lado derecho. Las flechas representan los valores que están conectando a un conjunto con el otro, y ese pequeño elemento más pequeño que está del lado derecho representado por un pequeño óvalo es el rango. Es decir, el rango es una parte del codominio.
Vamos a realizar un ejercicio práctico para visualizar mejor todo lo visto hasta este momento. Supongamos la función siguiente:
f(x) = 2x + 1
Hallar los valores de f(x) para x igual a 1, 2, 3 y 4.
En este caso práctico, se identifican claramente los siguientes elementos:
Durante el curso se va a trabajar con dos grandes conjuntos de funciones:
Las funciones algebraicas se pueden escribir en términos de operaciones algebraicas (potenciación, radicación, suma, resta, multiplicación, división). Por ejemplo:
y = 3x^2 z
Esta expresión algebraica en realidad está representándonos algo que se encuentra simplificado, pues esta expresión lo que nos está indicando es que tenemos repetida tres veces la expresión x^2z, es decir:
y = 3x^2 z = xxz + xxz + xxz
Pues, la x^2 es una simplificación de la multiplicación de x por x. Entonces, nos indica que una función algebraica podemos separarla en otros elementos.
La función trascendente es una función que no satisface una ecuación polinómica cuyos coeficientes sean a su vez polinomios; esto contrasta con las funciones algebraicas, las cuales satisfacen dicha ecuación.
En las funciones trascendentes la variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.
El siguiente es un ejemplo de una función trascendente:
y = 2^x
Esta función nos muestra un problema, pues, anteriormente decíamos que una x^2 representaba la multiplicación de x por x, pero en 2^x surge la pregunta ¿cuántas veces se va a multiplicar el 2 por sí mismo?
La respuesta es que no lo sabemos; entonces si te fijas la forma de escribir esta función es única, es especial, porque no se puede separar en otros componentes. Por esta razón, no podemos entonces confundir las funciones trascendentes con las funciones algebraicas.
Contribución creada con aportes de: Avilio Muñoz Vilchez.
Aportes 24
Preguntas 4
Una función nos permite conocer el valor de una variable cuando otra cambia. Cada una tiene un nombre:
El dominio el grupo de valores que puede adquirir la variable independiente.
El codominio son los valores que resultan de cambiar el valor de la variable independiente en la función.
El rango es el conjunto de valores en el que tenemos interés.
Las funciones son como máquinas a las que se les introduce un elemento x y devuelven otro valor y, que también se designa por f(x). Por ejemplo, la función f(x) = 3x2 + 1 es la que a cada número le asigna el cuadrado del número multiplicado por 3 y luego sumado 1
funciones algebraicas
Función Cuadrática: f(x) = ax2 + bx + c.
Función Cúbica: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
Una función es una relación entre dos conjuntos. El conjunto de los números originales se llama conjunto de partida y el conjunto de lo que se obtiene como resultado se llama conjunto de llegada
Para que la relación sea una función, debe cumplir las siguientes condiciones:
Cada elemento del conjunto de partida tiene una única imagen.
Todos los elementos del conjunto de partida están relacionados con algún elemento del conjunto de llegada.
Funciones Algebraicas:
Es una función que satisface una ecuación polinómica, y a su vez, la variable independiente tiene que efectuar operaciones algebraicas como suma, resta, multiplicación o división.
–
Funciones Trascendentes:
En las funciones trascendentes la variable independiente figura como exponente, índice de la raíz, cuando la acompaña el signo de logaritmo o cualquiera de los signos trigonométricos.
más info. 👇🏻
Funciones Algebraicas
Funciones Trascendentes
soy inge y amo este curso.
uwu
Me gusta la forma en como el profe explica los conceptos de manera empírica. 😉
Excelente gran explicación. Sinceramente nunca había entendido que era el rango. Siempre pensé que era lo mismo que el codominio.
las funciones son de mis cosas favoritas en las matematicas che
Una función es como una regla que nos va a permitir combinar dos conjuntos: entrada y salida, esta regla son una serie de métodos o condiciones que nos va a permitir juntarlos.
X (datos de entrada): Va a ser la variable con la que vamos a alimentar nuestra función.
Y (datos de salida): Va a ser los resultados de salida de nuestra función.
Dominio: Son el conjunto de valores que va ser procesados por la función.
X (mayúscula) = Es el conjunto de todos los valores.
x (minúscula) = Elementos individuales del conjunto
Codominio: Son el conjunto de valores que pueden resultar del procesamiento de la función.
Y (mayúscula) = Codominio, son todos los resultados que resulten de la función.
y (minúscula) = Rango, es un subconjunto del codominio, solo un grupo de valores del conjunto total.
Me encanta que tengan clases de matemáticas, son tan importantes y poca importancia, le dan
Aquí les comparto una imagen que encontré, donde se ilustra los conceptos de la clase. Se puede observar que en este caso la función o la regla sería el número de lados de las figuras que se encuentran en el dominio.
aprendi mas aqui que en la escuela, este tipo de profesores son los que deberían enseñar en la escuela, sin duda me hubiera encantado tenerlo como maestro
tiempo bien invertido
Una explicación bastante concisa sobre la definición de funciones y la diferenciación entre funciones algebraicas y funciones trascendentes.
Regla de correspondencia que relaciona un conjunto de entradas/variables independientes (dominio) con, y al que pertenece sólo un elemento de las variables dependientes/salida (codominio/contradominio).
El maestro explica muy bien, me hubiera gustado tenerlo de maestro en la prepa y en la uni
¿Qué es una función?
Es una regla que relaciona a un conjunto de
entradas con un conjunto de posibles salidas,
donde a cada elemento en la entrada le
corresponde únicamente un elemento de la
salida.
Una función en su forma mas elemental es simplemente una asignación entre los valores de un conjunto a los valores de otro conjunto.
Estas asignación puede estar expresada de forma literal o mediante una regla de correspondencia por ejemplo:
f(x) = | 2 si x = 1
. | 3 si x = 4
. | 6 si x = 2
En este ejemplo la asignación es de forma literal, se dice cual elemento del codominio le corresponde a cada elemento del dominio.
g(x) = x^2
En este ejemplo se usa un regla de correspondencia, lo que literalmente se esta diciendo es: El valor que le corresponde a un número es el resultado de elevarlo al cuadrado.
Y finalmente podemos combinar estas dos forma des escribir funciones
abs(x) = | x si x >= 0
. | -x si x < 0
En este ejemplo tenemos la definición de la función valor absoluto, la cual usa una regla distinta dependiendo si la x es mayor o menor que 0
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