La derivada de funciones combinadas con suma, resta, multiplicación o división tiene reglas claras que parecen complejas en el formulario, pero se simplifican cuando entiendes la lógica detrás. Aquí aprendes a derivar polinomios, productos y cocientes con ejemplos concretos, ideal si estás iniciando en cálculo diferencial.

¿Cómo se deriva una suma o resta de funciones?

La derivada de una suma o resta se distribuye: derivas cada término por separado y mantienes los signos originales. Por eso se dice que la derivada de una suma es igual a la suma de las derivadas [00:24].

Mira este caso con un trinomio: la derivada de 3x² + 2x − 1. Tomas cada término por su lado.

• La derivada de 3x² es 6x, porque el 2 baja y multiplica al 3, dejando x¹.
• La derivada de 2x es 2.
• La derivada de 1, al ser constante, es 0.

Resultado: 6x + 2. Así de directo.

¿Cuál es la derivada de una constante? Siempre es cero. No importa el número, si no tiene variable, su derivada desaparece.

Otro ejemplo con 5x³ + 2x² − 3x. Derivas uno a uno: 15x² (porque 3 por 5 es 15 y restas 1 al exponente), más 4x, menos 3. Recuerda ese 1 invisible que sí se siente en los exponentes.

¿Cómo aplicar la regla del producto en derivadas?

La derivada de un producto asusta más de lo que debería [01:34]. La fórmula dice: la primera función por la derivada de la segunda, más la segunda función por la derivada de la primera. Es básicamente cruzar las derivadas y sumarlas.

Un truco que funciona siempre:

1. Deriva cada función por separado antes de cruzar nada.
2. Cruza siguiendo la fórmula: primera por derivada de la segunda, más segunda por derivada de la primera.

Vamos con x² · sen(x). Primero las derivadas individuales:

• La derivada de x² es 2x.
• La derivada de sen(x) es cos(x). Esta la verás a fondo en la próxima clase de derivadas trigonométricas, pero por ahora confía en el dato.

Ahora cruzas: x² · cos(x) + 2x · sen(x). Ese es tu resultado final.

¿Cómo se resuelve la derivada de un cociente?

La derivada de un cociente es la más temida, pero con orden se vuelve mecánica [02:54]. Un cociente es una división: una función arriba y otra abajo.

La fórmula completa: el de abajo por la derivada del de arriba, menos el de arriba por la derivada del de abajo, todo sobre el denominador al cuadrado. Se parece a la del producto, pero con un signo menos y ese denominador elevado al cuadrado al final.

¿Cuál es la diferencia entre la regla del producto y la del cociente? El producto suma los cruces; el cociente los resta y divide entre el denominador al cuadrado.

Ejemplo paso a paso con seno entre x

Derivemos sen(x) / x. Primero, las derivadas individuales:

• Derivada de sen(x) es cos(x).
• Derivada de x es 1.

El orden importa muchísimo aquí. Cruza así:

• Numerador: x · cos(x) − sen(x) · 1, que se simplifica a x cos(x) − sen(x).
• Denominador: x², porque elevas al cuadrado lo que estaba abajo.

Resultado: (x cos(x) − sen(x)) / x². La derivada de una fracción siempre te dará otra fracción.

¿Para qué sirven estas reglas en cálculo diferencial?

En cálculo te vas a topar con combinaciones constantes de funciones que suman, restan, multiplican o dividen entre sí. Pueden ser algebraicas, trigonométricas, exponenciales o logarítmicas, y necesitas estas reglas para resolverlas sin atorarte [04:42].

Dominar la propiedad distributiva en derivadas, la regla del producto y la del cociente te da la base para enfrentar cualquier ejercicio mixto. El siguiente paso lógico es entrar de lleno a las derivadas trigonométricas, donde sen, cos y compañía toman protagonismo.

¿Qué regla te cuesta más aplicar, la del producto o la del cociente? Cuéntame en los comentarios y resolvemos dudas.