Definición y resolución de ecuaciones con valor absoluto

El valor absoluto es fundamental en matemáticas, especialmente al resolver ecuaciones algebraicas. Entender qué es y cómo se aplica con ejemplos prácticos permite reducir errores y mejorar tu habilidad resolutoria.

¿Qué es el valor absoluto en matemáticas?

El valor absoluto es una función matemática que hace positivo cualquier número o expresión que se encuentre dentro de él. Se representa con dos barras verticales (| |), y su función es convertir una cantidad negativa en positiva y mantener positiva cualquier cantidad que ya lo sea.

Por ejemplo, si tenemos |-5|, el resultado será 5. Asimismo, |5| seguirá siendo 5.

¿Cómo resolver ecuaciones con valor absoluto?

Al resolver una ecuación que contiene valor absoluto, es clave dividirla en dos casos: uno positivo y otro negativo. Observemos cómo hacerlo mediante un ejemplo claro:

Ejemplo práctico 1: valor absoluto sencillo

Considera la ecuación |9 + x| = 5. Lo primero es dividirla en dos situaciones:

• Caso positivo: 9 + x = 5
• Caso negativo: -(9 + x) = 5

Al resolver cada caso por separado obtenemos dos soluciones posibles:

• Para el caso positivo: x = 5 - 9, es decir, x₁ = -4.
• Para el caso negativo: multiplicamos por -1, quedando -9 - x = 5; al despejar finalmente x₂ = -14.

Esto nos demuestra que en ecuaciones con valores absolutos aparecen normalmente dos resultados.

Ejemplo práctico 2: factorizar y simplificar primero

Complicamos ligeramente el ejemplo con la expresión |(x² + 3x + 2)/(x² - 1)| = 4.

Lo primero es simplificar mediante factorización:

• Numerador (trinomio): x² + 3x + 2 → (x + 1)(x + 2)
• Denominador (diferencia de cuadrados): x² - 1 → (x + 1)(x - 1)

Esto permite reducir la expresión por factor común (x + 1), obteniendo un valor absoluto simplificado de:

[|\frac{x + 2}{x - 1}| = 4]

Procedemos nuevamente dividiendo en dos casos:

• Caso positivo: Despejando obtenemos finalmente x = 2.
• Caso negativo: Multiplicando por -1 obtenemos x = 2/5.

Estos procedimientos claros y ordenados son esenciales en la solución eficiente de ecuaciones con valor absoluto.

¿Conoces otros ejemplos de ecuaciones con valor absoluto? Comparte tus dudas o ejemplos para continuar aprendiendo juntos.