Propiedades algebraicas básicas: neutros, inversos y distributiva

Dominar las propiedades algebraicas es esencial para avanzar en el estudio del álgebra con firmeza. Repasemos de manera clara y sencilla qué son y cómo funcionan las propiedades básicas del álgebra, que incluyen elementos neutros, elementos inversos, propiedades conmutativas, asociativas y distributivas.

¿Qué son los elementos neutros en álgebra?

Elementos neutros son aquellos que no cambian el valor de otro número o variable cuando se operan juntos. Existen dos tipos:

• Para la suma: cualquier elemento sumado con cero no cambia de valor. Por ejemplo, ( a + 0 = a ).
• Para la multiplicación: cualquier elemento multiplicado por uno mantiene su valor original. Por ejemplo, ( a \times 1 = a ).

¿Qué son los elementos inversos?

Los elementos inversos se caracterizan por devolver como resultado al elemento neutro:

• Inverso aditivo: conocido también como el contrario en la suma. Al sumar un elemento con su opuesto, obtenemos cero. Por ejemplo, ( a + (-a) = 0 ).
• Inverso multiplicativo: multiplicar un elemento por su inverso multiplicativo nos da como resultado uno. Por ejemplo, ( a \times \frac{1}{a} = 1 ), considerando siempre que ( a \neq 0 ) para evitar indeterminaciones.

¿Cuáles son las propiedades conmutativa y asociativa?

¿Qué es la propiedad conmutativa?

La propiedad conmutativa establece que cambiar el orden al sumar o multiplicar dos números no altera el resultado:

• Para suma: ( a + b = b + a ).
• Para multiplicación: ( a \times b = b \times a ).

Sin embargo, esta propiedad no aplica para la resta ni para la división.

¿Cómo funciona la propiedad asociativa?

La propiedad asociativa indica que la forma en que agrupamos números cuando los sumamos o multiplicamos tampoco modifica los resultados:

• Para suma: ( (a + b) + c = a + (b + c) ).
• Para multiplicación: ( (a \times b) \times c = a \times (b \times c) ).

Al igual que la conmutativa, esta propiedad tampoco aplica en el caso de la resta.

¿Qué significa la propiedad distributiva?

La propiedad distributiva permite distribuir la multiplicación sobre la suma o la resta:

• Multiplicación sobre suma: ( a \times (b + c) = ab + ac ).
• Multiplicación sobre resta: ( a \times (b - c) = ab - ac ).

¿Cuáles son las propiedades especiales en la división?

Finalmente, repasamos brevemente propiedades específicas para la división:

• Dividir un elemento entre otro equivale a multiplicarlo por el inverso del divisor: ( \frac{a}{b} = a \times \frac{1}{b} ), siendo ( b \neq 0 ).
• Cualquier elemento dividido entre sí mismo es uno, siempre y cuando sea diferente de cero: ( \frac{a}{a} = 1 ), para ( a \neq 0 ).
• Dividir un elemento entre uno no modifica su valor: ( \frac{a}{1} = a ).

¿Has utilizado estas propiedades en tus ejercicios? ¡Aprovecha la sección de comentarios para compartir cuáles te resultan más fáciles o difíciles!