Simulaciones de Montecarlo para Aproximar Pi

Clase 18 de 24 • Curso de Estadística Computacional con Python

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Carli Code

teacher•

Los que quieren sabe un poco más sobre las agujas de buffon para calcular pi deberían entrar a este link:

https://www.youtube.com/watch?v=sJVivjuMfWA

Gonzalo Ferrando

student•

Gracias!

Alvaro Daniel Vidal Velasque

student•

Platzi Nauta

student•

https://www.youtube.com/watch?v=DQ5qqHukkAc

Juan Jose Tovar

student•

Creo que no hay mejor video que el de este link para entender el cálculo de pi.

Jorge Lara

student•

Excelente, con esa explicación lo entendí

Juan Jose Tovar

student•

¿Quieren aprenderse los 10 primeros digitos de pi de forma fácil?, les dejo esta nemotecnía que funciona a la perfección, se la vi a alguien en un tutorial. Memoriza esta oracion y cuenta cuantas letras tiene cada palabra, los números tomalos literalmente y listos.

Con 1 flor y 5 mariposas se pueden hacer mil cosas

jesus alberto negrin guerrero

student•

gracias

Miguel Andres Rendon Reyes

student•

Está bueno

jose zuñiga

student•

• Dejo mi resumen dispuesto para criticas o para ayudarles. De un novato para novatos:

En este caso se usaran las simulaciones de Montecarlo para intentar calcular el número Pi. En este caso se lanzaran de manera aleatoria agujas dentro de dos figuras circunscritas (un circulo dentro de un cuadrado). Y verificaremos si caen dentro del circulo o por fuera de el.
Se usara una comparación entre las relaciones de las áreas del cuadrado y el circulo circunscrito. Osea un circulo dentro del cuadro de tal manera que sus perímetros se toquen.
Diremos que todas las agujas que toquen el circulo serán equivalentes al área del circulo o Área Circulo = Aguja dentro del circulo
De igual manera decimos que el área del cuadro sera igual a todas las agujas que caigan dentro de el. En total serán las agujas dentro del circulo y las que caen fuera de él. **Como la restricción de la medida es que solo tenemos en cuenta las agujas dentro de alguna de las dos figuras, al final el área del cuadro sera igual al total de agujas. **Tengan esto en cuenta para el experimento. o Área Cuadro = Agujas dentro del cuadro = Total de agujas
Bien, ahora usemos las proporciones para fabricar una medida de la probabilidad de encontrar una aguja dentro del circulo. Esto seria equivalente a verificar la relación de las proporciones de las áreas entre el circulo y el cuadrado. o Área del circulo / Área del cuadro = Proporción entre las dos figuras
Haciendo las equivalencias con las proporciones de las agujas tendremos que: o Acirculo / Acuadro = Aguja dentro del circulo / Agujas dentro del cuadro
Ahora igualando las proporciones a los valores del ejemplo. En las cuales el circulo tiene un radio de 1 u un lado del cuadro mide 2r tendremos que o Acirculo = pi *r**2 = pi *(1)**2 = pi o Acuadro = 2r * 2r = 4r = 4(1) = 4
Como deseamos calcular el área del circulo despejamos la ecuación del punto 6 para obtener la formula: o Acirculo = (Aguja dentro del circulo * Acuadro ) / Agujas dentro del cuadro
Del punto 7 podemos obtener el Acuadro al remplazarlo obtengo: o Acirculo = (Aguja dentro del circulo * 4) / Agujas dentro del cuadro
Como dato curioso pueden ver que matemáticamente la relación entre el área del circulo y el cuadro es de pi/4, esto significa que de cada X lanzamientos que hagamos pi/4 probablemente caerán dentro del circulo. o pi / 4 = Agujas dentro del circulo / Agujas dentro del cuadro o Como mencione en 5 las agujas dentro del cuadro será igual al total de agujas lanzadas o pi / 4 = Agujas dentro del circulo / Total de agujas lanzadas
Con todo esto en mente debemos tener en cuenta que para la simulación usaremos como coordenada central el centro del circulo, osea ese sera nuestro punto 0,0
Las simulaciones de Montecarlo se valen de la aleatoriedad para generar muestras, así que las coordenadas de las agujas que generemos son vitales, seguramente necesitaremos la librería random.
Otro punto importante es que a mayor número de lanzamientos menor sera el error de la medida. o Error = (lanzamientos)**1/2, este es el teorema de los grandes números
Para verificar cuales puntos caen dentro del circulo usaremos el calculo de la hipotenusa. Todo punto cuya hipotenusa sea mayor a UNO sera contado como aguja fuera del circulo y las que se calculen como menores serán sumadas a agujas dentro del circulo.
Valiendo nos de toda esta información es posible simular y calcular el número de pi mediante simulaciones de Montecarlo.

Edgar Moises Valdez Faria

student•

No entendí que tiene que ver la hipotenusa con las agujas que caen fuera del circulo. ¿ Alguien que lo haya entendido ? Si me pueden iluminar por favor

Juan David Aguirre

student•

Hola Edagar. Se debe determinar al caer las agujas, donde caen. Y para esto utilizamos pitagoras.

Dibujamos un triangulo cuya hipotenusa va desde el centro del circulo hasta el lugar donde cayo la aguja. Si el valor de esa hipotenusa es menor a 1 quiere decir que esta dentro del circulo y si es mayor está por fuera del circulo. Recuerda que el circulo tiene radio 1.

Saludos

Edgar Moises Valdez Faria

student•

Gracias por la respuesta. El punto tiene coordenadas (x, y), que serían los catetos. La hip de estos catetos es la que tiene que valer menor al radio para decir que cayó dentro del circulo.

Con tu explicación me quedó más claro.

Jose Colmenares

student•

También se puede aproximar el 'numero PI calculando todo sobre el primer cuadrante. Es mucho más directo y no requieres de tanto puntos.

Miguel Torres

student•

¿Cómo funciona?

Se cálcula en un solo cuadrante eligiendo coordenadas aleatorias exclusivas de ese cuadrante y el estimado se multiplica por 4?

Raymundo Soto Soto

student•

Así es, se multiplica por 4 vel resultado y ya tenemos el valor de pi.

Humberto Kuruklis

student•

No me quedo muy claro la parte de como saber si la aguja cae dentro o fuera del circulo

Alejandro Cuello Maure

student•

Primero tenemos que saber una cosa.

¿Que es el radio de una circunferencia?

Es la distancia que hay desde el centro del circulo. Hasta el cualquier punto del borde. Como sabemos que el centro esta justo en la mitad del circulo, no importa hacia que direccion apuntemos hasta alcanzar un punto del borde, siempre va a hacer la medida del radio.

Entonces, si sabemos que tenemos una distancia de 1 unidad desde el centro hasta el borde, quiere decir que si un punto se encuentra a menos de 1 unidad está "dentro" del borde. En otras palabras, adentro del circulo.

Y si es mayor quiere decir que está afuera.

¿Como calculamos la distancia desde un punto cualquiera al circulo?

Mediante la distancia entre puntos !Imagen1

con esta formula, que también es la misma que el triangulo de pitagoras

!Imagen

En conclusion, nos damos cuenta si cayo dentro o no del circulo dependiendo que tan lejos se encuentre un punto del centro del circulo.

Espero haber sido claro ;)

Miguel Herreros Cejas

student•

Muy interesante para Geolocalización y saber si el sujeto está dentro de un área determinada.

Josue Noha Valdivia

student•

Calculo estocástico de pi

Ya en el siglo XIX esta solución fue propuesta por Laplace y en el siglo XVIII por Buffon (probabilidad geométrica)
Consiste en lanzar 'dardos' aleatoriamente a un cuadrado en el que se encuentra inscrito un circulo y calcular la relación entre los dardos que caen en el circulo y los dardos lanzados que serán proporcionales al area del circulo y del cuadrado respectivamente.

Jhon Freddy Puentes Nuñez

student•

**PI: **Es las veces que cabe el diametro de un circulo en la circunferencia del circulo en cuestión. 3,14159 26535...

Lorenzo Matta

student•

cómo pretende David clcular la hipotenusa para averiguar si es mayor o menor a 1?

Faustino Correa Muñoz

student•

Es más fácil verlo con la fórmula que describe el círculo. x^2 + y^2 <= 1, las coordenadas que cumplan con eso quiere decir que están dentro del círculo

Santiago Herrera Velásquez

student•

en si es cosa de calcular cada hipotenusa y compararla, se puede analizar como la distancia entre dos puntos (0,0) y los aleatorios teorema de pitagoras te brinda la medida precisa

Jose Flores

student•

Por lo que entendí es que en la siguiente clase, vamos a generar varios puntos en un campo de 2x2, los puntos se dan con coordenas (x, y), y si la suma de los cuadrados de estas es mayor a 1 significa que la aguja, cayo fuera del circulo, porque 1 es el valor del radio, o sea la distancia que separa el origen de la circunferencia.

Ruy Cabello

student•

Aquí mi código para graficar y estimar el valor de pi:

Librerías

import random
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib
import math
import numpy as np

Función principal, con algunas modificaciones para crear la gráfica

def colocar_puntos(numero_de_puntos):
    dentro_del_circulo = 0
    x_list = []
    y_list = []
    distancias = []
    for _ in range(numero_de_puntos):
        x = random.random() * random.choice([-1, 1])
        x_list.append(x)
        y = random.random() * random.choice([-1, 1])
        y_list.append(y)
        
        distancia_desde_centro = math.sqrt(x**2 + y**2)
        
        if distancia_desde_centro <= 1:
            dentro_del_circulo += 1
            distancias.append(1)
        else:
          distancias.append(0)

    pi_estimado = ((4*dentro_del_circulo) / numero_de_puntos)

    return pi_estimado, x_list, y_list, distancias

Variables para almacenar la información

pi = 0
num_puntos = 100
x = []
y = []
d = []
pi, x, y, d = colocar_puntos(num_puntos)
print(pi)

Para graficar...

fig, ax = plt.subplots(figsize=(5,5))
ax.scatter(x, y, c = d, cmap='PRGn')

t = f"Pi estimado: {pi}"
props = dict(boxstyle='round', facecolor='wheat', alpha=1)
ax.text(0.5, 0.95, t, transform=ax.transAxes, fontsize=14,
        verticalalignment='top', bbox=props)
ax.set_title(f"Cálculo de con {num_puntos} puntos")
ax.grid(True)
print(pi)

Resultados:

Osmani Andrés Castillo Garrido

student•

pero si los lados valen 1, entonces la hipotenusa vale raíz de dos, ¿no?

Pablo Reyes Abarca

student•

nunca vi esto en la universidad :(

Iván Ricardo Bohórquez Basto

student•

Desconocía por completo esta forma de calcular pi.Simplemente genial el potencial del uso de las simulaciones y las probabilidades, cuando se construye bien un modelo matemático que representa un sistema en la vida real.

JESUS ALBERTO CARREÑO MARTINEZ

student•

Eh aqui el codigo de QuantumFracture https://docs.google.com/document/d/1Ud_FCbVrxJoowz7rW2-FsJ3VTSoDjUQbaqvFkAxquFs/edit

Luis Gustavo Vargas Reynoso

student•

https://www.youtube.com/watch?v=DQ5qqHukkAc&feature=youtu.be

Este video explica más a detalle el tema de pi y como obtenerlo por varios métodos. 🤯

Ivan Ezequiel Mazzalay

student•

Está excelente!! :D

Valentina Arenas Lozano

student•

Hay algo en la fórmula que no me cuadra, las agujas puede caer adento o fuera del circulo entonces las áreas respectivas deberian ser área del círculo y área del cuadrado menos la del círculo, y no sólo la del cuadrado

OLIVER BARRERA

student•

En la formula A circ = (4 * agujas circ ) / agujas cuad no se refiere al area blanca (cuadrado menos circulo) se refiere al area total = 4 La analogía de que cae dentro y que cae fuera es para calcular el area del circulo

Raymundo Soto Soto

student•

Este mismo método se puede usar para cálcular integrales definidas de forma númerica.

def colocar_puntos(numero_de_puntos):
    dentro_del_circulo = 0
    x_list = []
    y_list = []
    distancias = []
    for _ in range(numero_de_puntos):
        x = random.random() * random.choice([-1, 1])
        x_list.append(x)
        y = random.random() * random.choice([-1, 1])
        y_list.append(y)
        
        distancia_desde_centro = math.sqrt(x**2 + y**2)
        
        if distancia_desde_centro <= 1:
            dentro_del_circulo += 1
            distancias.append(1)
        else:
          distancias.append(0)

    pi_estimado = ((4*dentro_del_circulo) / numero_de_puntos)

    return pi_estimado, x_list, y_list, distancias

fig, ax = plt.subplots(figsize=(5,5))
ax.scatter(x, y, c = d, cmap='PRGn')

t = f"Pi estimado: {pi}"
props = dict(boxstyle='round', facecolor='wheat', alpha=1)
ax.text(0.5, 0.95, t, transform=ax.transAxes, fontsize=14,
        verticalalignment='top', bbox=props)
ax.set_title(f"Cálculo de con {num_puntos} puntos")
ax.grid(True)
print(pi)

Simulaciones de Montecarlo para Aproximar Pi

Introducción

Programación Dinámica y Estocástica: Optimización y Modelado de Datos

Programación Dinámica

Programación Dinámica: Optimización de Problemas con Memorización

Optimización de Algoritmos con Programación Dinámica en Python

Caminos Aleatorios

Simulaciones con Caminos Aleatorios en Programación

Camino Aleatorio en Programación Orientada a Objetos

Algoritmo de Caminata Aleatoria en Python: Clase Borracho

Simulación de Caminata Aleatoria con Python

Visualización de Caminatas Aleatorias con Python y Bokeh

Programas Estocásticos

Programación Estocástica: Aplicaciones y Ejemplos Prácticos

Cálculo de Probabilidades y Simulación de Montecarlo

Simulaciones de Probabilidades con Dados en Python

Inferencia Estadística: Conceptos y Aplicaciones Prácticas

Cálculo de la Media Aritmética en Python paso a paso

Media, Varianza y Desviación Estándar en Estadística

Distribución Normal: Propiedades y Aplicaciones Estadísticas

Simulaciones de Montecarlo

Simulaciones de Montecarlo: Historia y Aplicaciones Prácticas

Simulación de Montecarlo para Probabilidades en Juegos de Cartas

Simulaciones de Montecarlo para Aproximar Pi

Estimación de Pi mediante Monte Carlo y Simulación Estadística

Muestreo e Intervalos de Confianza

Muestreo Estadístico: Aleatorio y Estratificado

Teorema del Límite Central: Transformación de Distribuciones

Datos Experimentales

Validación de teorías científicas con datos experimentales

Regresión Lineal con NumPy y Matplotlib en Google Colab

Conclusiones

Optimización de Programas con Programación Dinámica y Simulaciones