Estimación de Pi mediante Monte Carlo y Simulación Estadística

Curso de Estadística Computacional con Python

Contenido del curso

Introducción

1
Programación Dinámica y Estocástica: Optimización y Modelado de Datos
01:56 min

Programación Dinámica

Caminos Aleatorios

Programas Estocásticos

Simulaciones de Montecarlo

Muestreo e Intervalos de Confianza

Datos Experimentales

Conclusiones

24
Optimización de Programas con Programación Dinámica y Simulaciones
02:54 min

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Estimación de Pi mediante Monte Carlo y Simulación Estadística

Curso de Estadística Computacional con Python

Clase 19 de 24

Clase 19 / 24

Recursos

¿Cómo calcular el valor de Pi usando programación?

En esta clase, ejecutaremos un algoritmo para calcular el estimado del número Pi mediante simulaciones y técnicas estadísticas. Es fascinante descubrir cómo mediante un simple uso de geometría y probabilidad, podemos determinar un valor aproximado de este número irracional tan crucial en matemáticas.

¿Cómo crear una función que lance agujas?

Para empezar, se requiere una función en Python que simule el lanzamiento de agujas sobre un plano para calcular Pi. Aquí están los pasos básicos:

Definir la función aventar_agujas: Esta función recibe el número de agujas como parámetro.

def aventar_agujas(numero_agujas):
    adentro_del_circulo = 0
    for _ in range(numero_agujas):
        x = random.random() * random.choice([-1, 1])
        y = random.random() * random.choice([-1, 1])
        distancia = math.sqrt(x ** 2 + y ** 2)
        if distancia <= 1:
            adentro_del_circulo += 1
    return 4 * adentro_del_circulo / numero_agujas

Utilizar funciones aleatorias: Con la biblioteca random se generan coordenadas x y y en el rango de [-1,1].
Calcular la distancia: Usar el Teorema de Pitágoras para determinar si la aguja cae dentro del círculo de radio 1.

¿Cómo utilizar la estadística para mejorar la estimación?

Usando conceptos estadísticos como la media y la desviación estándar, mejoramos la precisión de nuestra estimación.

Importar funciones estadísticas: Utilizar una librería previamente creada con funciones de media y desviación estándar.
```
from estadisticas import media, desviacion_estandar
```

Crear una función de estimación: Comienza ejecutando simulaciones múltiples veces para obtener un valor promedio de estimación.

def estimacion(numero_agujas, numero_intentos):
    estimados = []
    for _ in range(numero_intentos):
        estimados.append(aventar_agujas(numero_agujas))
    return media(estimados), desviacion_estandar(estimados)

Evaluar el resultado: Usar la regla empírica para determinar el nivel de confianza deseado.

¿Cómo implementar una simulación principal?

La función principal estimar gestiona la precisión deseada y controla el número de agujas y simulaciones.

Iniciar variables: Empezar con un número base de agujas y calcular la sigma deseada.

Controlar la precisión: Ajustar según la distribución normal deseada y realizar simulaciones repetidas.

def estimar(precision, numero_intentos):
    numero_agujas = 1000
    sigma = precision
    while sigma >= precision / 1.96:
        media_estimados, sigma = estimacion(numero_agujas, numero_intentos)
        numero_agujas *= 2
    return media_estimados

Ejecutar la función principal: Llamar esta función con valores como precision=0.01 y numero_intentos=1000 para obtener un resultado.

Esta clase no solo explica un método eficiente para estimar Pi, sino también ofrece un enfoque práctico del uso de estadísticas en simulaciones. A través de la práctica, el estudiante irá familiarizando el uso de aleatoriedad y estadística en programación. ¡Esperamos que hayas disfrutado y aprendido cómo estas técnicas pueden aplicarse para resolver problemas reales! No olvides compartir tus dudas y comentarios en la sección correspondiente.

Carlos Esquivel

Hace 7 años

Solución del ejercicio de estimación de pi con apoyo grafico para entender que esta sucediendo durante la simulación, en único dato a considerar es la precisión ya que entre más cifras significativas se usen el tiempo de computo se hace exponencialmente largo.

import os
import random as random
import math as math
import statistics as std
from bokeh.plotting import figure, output_file, show
os.system('cls')

tries = 10
puntos = 100

def estimar_pi(puntos):
    in_circle_x = []
    in_circle_y = []
    out_circle_x = []
    out_circle_y = []
    pi_array =[]

    for i in range(puntos):
        pos_x = random.uniform(-1,1)
        pos_y = random.uniform(-1,1)

        if math.sqrt(pos_x**2 + pos_y**2) <= 1:
            in_circle_x.append(pos_x)
            in_circle_y.append(pos_y)
        else:
            out_circle_x.append(pos_x)
            out_circle_y.append(pos_y)

    estimate_pi = (4 * len(in_circle_x)) / puntos
    return (estimate_pi, in_circle_x, in_circle_y, out_circle_x, out_circle_y)
    #return ()

def crear_muestra(tries):
    pi_array =[]
    for i in range(tries):
        pivalor,in_circle_x, in_circle_y, out_circle_x, out_circle_y = estimar_pi(puntos)
        pi_array.append(pivalor)
    return (pi_array, in_circle_x, in_circle_y, out_circle_x, out_circle_y)

deviation = 1       # Valor inicial para poder empezar el ciclo while
presicion = 0.1     # Precision en cifras significativas para determinar el 
                    # valor estimado de pi (CUIDADO!!!!)

iteration = 1

while deviation >= (presicion / 1.96):
    pi_array, in_circle_x, in_circle_y, out_circle_x, out_circle_y = crear_muestra(tries)
    deviation = std.stdev(pi_array)
    variance = std.variance(pi_array) 
    mean = std.mean(pi_array)
    
    print(f'------------------       Iteracion number: {(iteration)}      ------------------')
    print(f'Standard deviation: {round(deviation,5)}, Variance : {round(variance,5)}, pi estimated: {round(mean,5)}')
    print(f'Numero de intentos {tries}, Numero de puntos {puntos}\n\n')
    #print(f)
    puntos *= 10
    tries *= 10
    iteration += 1

output_file("line.html")
plot = figure(plot_width=600, plot_height=600)
plot.circle(in_circle_x, in_circle_y, size=5, color="red", alpha=0.5)
plot.circle(out_circle_x, out_circle_y, size=5, color="navy", alpha=0.5)
show(plot)

Luis Fernando Pedroza Taborda

Hace 6 años

Espectacular Carlos

Angel Antonio Gonzalez Garrido

Hace 6 años

Gracias!!

Comentarios (120)120 comentarios

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Karl Behrens Gil

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Programación Dinámica

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Algoritmo de Caminata Aleatoria en Python: Clase Borracho

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Programación Estocástica: Aplicaciones y Ejemplos Prácticos

Cálculo de Probabilidades y Simulación de Montecarlo

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Inferencia Estadística: Conceptos y Aplicaciones Prácticas

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Estimación de Pi mediante Monte Carlo y Simulación Estadística

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Muestreo Estadístico: Aleatorio y Estratificado

Teorema del Límite Central: Transformación de Distribuciones

Datos Experimentales

Validación de teorías científicas con datos experimentales

Regresión Lineal con NumPy y Matplotlib en Google Colab

Conclusiones

Optimización de Programas con Programación Dinámica y Simulaciones

Estimación de Pi mediante Monte Carlo y Simulación Estadística