Teorema del Límite Central: Transformación de Distribuciones

Curso de Estadística Computacional con Python

Contenido del curso

Introducción

1
Programación Dinámica y Estocástica: Optimización y Modelado de Datos
01:56 min

Programación Dinámica

Caminos Aleatorios

Programas Estocásticos

Simulaciones de Montecarlo

Muestreo e Intervalos de Confianza

Datos Experimentales

Conclusiones

24
Optimización de Programas con Programación Dinámica y Simulaciones
02:54 min

Tomar examen

Cursos Empresas Blog Live Conf Eventos Precios

0:007:33

Teorema del Límite Central: Transformación de Distribuciones

Curso de Estadística Computacional con Python

Clase 21 de 24

Clase 21 / 24

Recursos

Existe un teorema que ha transformado no solo la estadística, sino las matemáticas y la ciencia moderna en su totalidad. El teorema del límite central permite tomar cualquier distribución probabilística y convertirla en una distribución normal, cuyas propiedades están perfectamente definidas por dos valores: la media y la desviación estándar. Gracias a esto, podemos aplicar herramientas matemáticas bien estudiadas a distribuciones que, por sí solas, serían extremadamente difíciles de analizar.

¿Cómo funciona el teorema del límite central?

El mecanismo es elegante en su simplicidad [0:22]. Si tomamos cualquier distribución y extraemos una muestra aleatoria, calculamos su media. Si repetimos este proceso muchas veces, la distribución de esas medias tiende a ser normal. Conforme aumentamos el tamaño de la muestra, la distribución resultante se acerca cada vez más a una campana de Gauss perfecta.

Esto tiene una explicación intuitiva: cuando tomamos una muestra, quizá un dato esté completamente alejado del centro, pero al promediarlo con el resto de los valores, ese dato extremo se compensa. Es lo que en inglés se conoce como even out [0:48]. Mientras más grande sea la muestra, más se promedian los valores extremos y más normal se vuelve la distribución de medias.

¿Qué sucede con la media y la desviación estándar al aumentar la muestra?

Al trabajar con muestras, la media no se denota como μ (la media poblacional), sino como x̄ (también llamada x hat o x barra) [1:18]. Un detalle fundamental es que:

La media de la distribución de medias muestrales se mantiene igual a la media de la distribución original.
La desviación estándar disminuye conforme aumenta el tamaño de la muestra.

Por ejemplo, al pasar de un sample de tamaño uno (que simplemente reproduce la distribución original) a un sample de tamaño quince, se obtiene una distribución perfectamente normal con una desviación estándar mucho menor [3:20].

¿Por qué la desviación estándar siempre debe interpretarse en relación con la media?

Un punto clave es que la desviación estándar no tiene significado absoluto por sí sola [3:30]. Una desviación de más menos cinco parece pequeña si la media es de diez millones, pero resulta enorme si la media es de apenas dos. Esto determina la variabilidad relativa de los datos y es esencial para no malinterpretar resultados.

¿Por qué cualquier distribución se puede transformar en normal?

Durante la demostración con un simulador en línea [2:07], se mostraron distribuciones de todo tipo:

Distribuciones donde la probabilidad es casi igual en todos los valores.
Distribuciones sesgadas con mayor probabilidad cerca de los extremos.
Distribuciones binomiales con dos picos claramente definidos.
Distribuciones de Poisson con una cola pronunciada.

En cada caso, sin importar qué tan irregular fuera la forma original, al incrementar el tamaño del sample la distribución de medias se convertía en una campana normal con la misma media y una desviación estándar cada vez menor [4:08].

¿Por qué el teorema del límite central es tan relevante para la ciencia?

Muchas distribuciones que aparecen en la realidad son irregulares y difíciles de manejar matemáticamente [4:22]. No es una limitación personal: como humanidad, no contamos con herramientas robustas para trabajar con distribuciones arbitrarias. Lo que sí tenemos perfectamente estudiado es la distribución normal.

El teorema del límite central cierra esa brecha. Si podemos convertir cualquier distribución en una normal, entonces podemos aplicarle todas las técnicas estadísticas conocidas [4:48]. Esto incluye:

Cálculo de probabilidades con tablas z.
Intervalos de confianza.
Pruebas de hipótesis.

Este teorema ha sido la base de descubrimientos físicos, biológicos y de múltiples campos científicos a lo largo de la historia moderna [5:05]. Su dominio es esencial para cualquier persona que trabaje con datos.

Si quieres profundizar, busca literatura adicional sobre el teorema del límite central y experimenta por tu cuenta: genera un programa que lance dos dados, calcula la media de cada tirada y observa cómo la distribución se transforma en normal [1:35]. Comparte tu experiencia en los comentarios.

Alexander Henry Obispo Buendia

Hace 7 años

RETO : DADOS Como se sabe los lanzamientos de datos tienen una distribución uniforme, debido a que cada número tiene las mismas posibilidades que salir que los otros 5 => (1/6). Entonces lo que hice fue crear un script donde se realiza una cantidad de lanzamientos de dados y se obtenga la cantidad de veces que salio cada número, luego seleccionar muestras de 10 lanzamientos y hallar su media. Con 1000 lanzamientos:

Con 2000 lanzamientos:

Es increíble el poder de las matemáticas :D

Codigo:

import random
import collections
from bokeh.plotting import figure,show
from bokeh.layouts import row

def population(number_of_throw):
    throws =[]
    throws_sample=[]
    sample_mean =[] #media de todas las muestas 
    for _ in range(number_of_throw):
        dice = random.choice([1,2,3,4,5,6])
        throws.append(dice)
        throws_sample.append(dice)
        if( _ %10==0): #promediamos la muestra de los 10 lanzamientos
            sample = sum(throws_sample)/len(throws_sample)
            sample_mean.append(sample)
            throws_sample=[] 

    throws=sorted(throws)
    sample_mean=sorted(sample_mean)
    sample_mean=dict(collections.Counter(sample_mean))
    throws=dict(collections.Counter(throws))
    return (throws, sample_mean)

def graph(values,title):
    
    number_of_dice=list(values.keys())
    values_of_throws=list(values.values())
    p = figure(title=title, x_axis_label='Number of Dice', y_axis_label='Quantity')
    p.vbar(x=number_of_dice,top=values_of_throws,width=0.5, color="#CAB2D6")
    return p

def main():
    quantity=int(input("Cantidad de lanzamientos: "))
    values_throws,values_sample = population(quantity) #tengo x lanzamientos de dados que me da una un gráfico uniforme
    # gráfico uniforme por que cada número del dado tiene la misma posibilidad de salir (1/6)
    show(row(graph(values_throws,"Dice Throws"),graph(values_sample,"Media Sample")))


if __name__ == "__main__":
    main()```

Luis Fernando Pedroza Taborda

Hace 6 años

Alexander gracias por compartir tu reto, esta genial el analisis que realizastes.

Juan Figueroa

Hace 6 años

Según yo esto ocurre porque, si tomamos muestras aleatorias y las promediamos, es como lógico pensar que lo mas típico sea que el promedio sea igual a 3,5 (promedio entre valores tipicos del dado: 1,2,3,4,5,6). Luego, obvio van a haber casos "raros" donde los valores que se tomen den como promedio 2 o 5 (como casos extremos) y estos serán menos probables. Y bueno lo interesante es que distribuye normal...

Comentarios (94)94 comentarios

Kevin Andres Rosales Marquez

Pedro Tambriz Och

Gonzalo Ferrando

David fernando Pinzon suarez

Oscar Francisco Trujillo Puentes

Eber Laurente Lliuyacc

Karl Behrens Gil

Dagoberto Porras Plata

Neftali García González

Hace 5 años

Hernan Ramiro Portilla Caez

Hace 3 años

Wilson Delgado

Wilmer Ropero C

Juan David Vergara Torres

Deyvi Jhonny Bustamante Perez

Oyarzabal Ivan

Arturo Baduna

Kleber Solis Vinueza

Josue Noha Valdivia

rusbel bermúdez rivera

Angel Estrada

Jose Reinaldo Roca Cruz

Mario Alberto Vásquez Arias

Sebastián Andrade

Jesús Joel Sarabia Félix

Introducción

Programación Dinámica y Estocástica: Optimización y Modelado de Datos

Programación Dinámica

Programación Dinámica: Optimización de Problemas con Memorización

Optimización de Algoritmos con Programación Dinámica en Python

Caminos Aleatorios

Simulaciones con Caminos Aleatorios en Programación

Camino Aleatorio en Programación Orientada a Objetos

Algoritmo de Caminata Aleatoria en Python: Clase Borracho

Simulación de Caminata Aleatoria con Python

Visualización de Caminatas Aleatorias con Python y Bokeh

Programas Estocásticos

Programación Estocástica: Aplicaciones y Ejemplos Prácticos

Cálculo de Probabilidades y Simulación de Montecarlo

Simulaciones de Probabilidades con Dados en Python

Inferencia Estadística: Conceptos y Aplicaciones Prácticas

Cálculo de la Media Aritmética en Python paso a paso

Media, Varianza y Desviación Estándar en Estadística

Distribución Normal: Propiedades y Aplicaciones Estadísticas

Simulaciones de Montecarlo

Simulaciones de Montecarlo: Historia y Aplicaciones Prácticas

Simulación de Montecarlo para Probabilidades en Juegos de Cartas

Simulaciones de Montecarlo para Aproximar Pi

Estimación de Pi mediante Monte Carlo y Simulación Estadística

Muestreo e Intervalos de Confianza

Muestreo Estadístico: Aleatorio y Estratificado

Teorema del Límite Central: Transformación de Distribuciones

Datos Experimentales

Validación de teorías científicas con datos experimentales

Regresión Lineal con NumPy y Matplotlib en Google Colab

Conclusiones

Optimización de Programas con Programación Dinámica y Simulaciones

Teorema del Límite Central: Transformación de Distribuciones