Simulaciones de Montecarlo para Aproximar Pi

Curso de Estadística Computacional con Python

Contenido del curso

Introducción

1
Programación Dinámica y Estocástica: Optimización y Modelado de Datos
01:56 min

Programación Dinámica

Caminos Aleatorios

Programas Estocásticos

Simulaciones de Montecarlo

Muestreo e Intervalos de Confianza

Datos Experimentales

Conclusiones

24
Optimización de Programas con Programación Dinámica y Simulaciones
02:54 min

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Simulaciones de Montecarlo para Aproximar Pi

Curso de Estadística Computacional con Python

Clase 18 de 24

Clase 18 / 24

Recursos

Calcular el número pi ha sido un reto que ha ocupado a la humanidad durante miles de años. Gracias a las simulaciones de Monte Carlo, es posible transformar un problema matemático complejo en uno que se resuelve con aleatoriedad y geometría básica. Este enfoque, ideado en el siglo XIX por los matemáticos Buffon y Laplace, demuestra cómo un programa que en principio sería determinista puede convertirse en un programa estocástico con resultados sorprendentemente precisos.

¿Cómo se relacionan un círculo y un cuadrado para aproximar pi?

La idea central parte de dos fórmulas que ya conocemos: el área de un cuadrado es base por altura, y el área de un círculo es pi por radio al cuadrado [1:20]. Si colocamos un círculo completamente dentro de un cuadrado y asignamos un radio de uno, el cuadrado tendrá base dos y altura dos, lo que nos da un área de cuatro. Por su parte, como el radio es uno, el área del círculo se simplifica a exactamente pi [1:42].

Esta relación geométrica es la base del método. Si logramos conocer el área del círculo, automáticamente conocemos pi. La pregunta entonces se convierte en: ¿cómo calculamos esa área sin usar pi directamente?

¿Qué papel juegan las agujas aleatorias en el cálculo?

Aquí entra la genialidad del método de Monte Carlo. La propuesta de Buffon y Laplace fue lanzar muchísimas agujas de manera aleatoria sobre la superficie del cuadrado y contar cuántas caen dentro del círculo y cuántas fuera [2:08]. La proporción entre agujas dentro del círculo y agujas totales en el cuadrado es equivalente a la proporción entre el área del círculo y el área del cuadrado.

Con álgebra sencilla se obtiene la fórmula clave [2:36]:

Área del círculo = área del cuadrado × (agujas en el círculo / agujas en el cuadrado).
Como el área del cuadrado es cuatro: pi ≈ 4 × (agujas en el círculo / agujas en el cuadrado).

Este proceso ilustra una técnica fundamental en ciencias del cómputo y matemáticas: convertir un problema complejo en uno sencillo que sabemos resolver [2:22].

¿Cómo determinar si una aguja cayó dentro del círculo?

Para saber si un punto aleatorio está dentro o fuera del círculo se utiliza el teorema de Pitágoras [2:56]. Dado que el radio es uno, basta con calcular la hipotenusa del triángulo formado por las coordenadas del punto:

Si la hipotenusa es menor o igual a uno, el punto está dentro del círculo.
Si es mayor que uno, el punto está fuera.

¿Cómo se generan los puntos aleatorios?

Los puntos se generan considerando que el centro del cuadrado y del círculo está en la coordenada (0, 0) [3:20]. Esto significa que los números aleatorios deben ir de -1 a 1 tanto en el eje X como en el eje Y. Cada par de coordenadas representa una "aguja" lanzada sobre la superficie.

¿Por qué este método es tan poderoso?

Lo fascinante de esta simulación es que mientras más agujas se lancen, más precisa será la aproximación de pi. Este mismo principio de simulación estocástica se puede aplicar a otros escenarios: simular juegos de cartas, calcular probabilidades en juegos como UNO o Risk, o evaluar si una estrategia es más favorable que otra [0:10].

El concepto detrás es claro: cuando un problema no se puede resolver fácilmente de forma analítica, la aleatoriedad controlada y un gran número de repeticiones pueden ofrecer respuestas muy cercanas a la realidad.

Si la explicación del método te generó dudas sobre cómo se implementa algorítmicamente, comparte tus preguntas en los comentarios para resolverlas juntos.

jose zuñiga

Hace 6 años

• Dejo mi resumen dispuesto para criticas o para ayudarles. De un novato para novatos:

En este caso se usaran las simulaciones de Montecarlo para intentar calcular el número Pi. En este caso se lanzaran de manera aleatoria agujas dentro de dos figuras circunscritas (un circulo dentro de un cuadrado). Y verificaremos si caen dentro del circulo o por fuera de el.
Se usara una comparación entre las relaciones de las áreas del cuadrado y el circulo circunscrito. Osea un circulo dentro del cuadro de tal manera que sus perímetros se toquen.
Diremos que todas las agujas que toquen el circulo serán equivalentes al área del circulo o Área Circulo = Aguja dentro del circulo
De igual manera decimos que el área del cuadro sera igual a todas las agujas que caigan dentro de el. En total serán las agujas dentro del circulo y las que caen fuera de él. **Como la restricción de la medida es que solo tenemos en cuenta las agujas dentro de alguna de las dos figuras, al final el área del cuadro sera igual al total de agujas. **Tengan esto en cuenta para el experimento. o Área Cuadro = Agujas dentro del cuadro = Total de agujas
Bien, ahora usemos las proporciones para fabricar una medida de la probabilidad de encontrar una aguja dentro del circulo. Esto seria equivalente a verificar la relación de las proporciones de las áreas entre el circulo y el cuadrado. o Área del circulo / Área del cuadro = Proporción entre las dos figuras
Haciendo las equivalencias con las proporciones de las agujas tendremos que: o Acirculo / Acuadro = Aguja dentro del circulo / Agujas dentro del cuadro
Ahora igualando las proporciones a los valores del ejemplo. En las cuales el circulo tiene un radio de 1 u un lado del cuadro mide 2r tendremos que o Acirculo = pi *r**2 = pi *(1)**2 = pi o Acuadro = 2r * 2r = 4r = 4(1) = 4
Como deseamos calcular el área del circulo despejamos la ecuación del punto 6 para obtener la formula: o Acirculo = (Aguja dentro del circulo * Acuadro ) / Agujas dentro del cuadro
Del punto 7 podemos obtener el Acuadro al remplazarlo obtengo: o Acirculo = (Aguja dentro del circulo * 4) / Agujas dentro del cuadro
Como dato curioso pueden ver que matemáticamente la relación entre el área del circulo y el cuadro es de pi/4, esto significa que de cada X lanzamientos que hagamos pi/4 probablemente caerán dentro del circulo. o pi / 4 = Agujas dentro del circulo / Agujas dentro del cuadro o Como mencione en 5 las agujas dentro del cuadro será igual al total de agujas lanzadas o pi / 4 = Agujas dentro del circulo / Total de agujas lanzadas
Con todo esto en mente debemos tener en cuenta que para la simulación usaremos como coordenada central el centro del circulo, osea ese sera nuestro punto 0,0
Las simulaciones de Montecarlo se valen de la aleatoriedad para generar muestras, así que las coordenadas de las agujas que generemos son vitales, seguramente necesitaremos la librería random.
Otro punto importante es que a mayor número de lanzamientos menor sera el error de la medida. o Error = (lanzamientos)**1/2, este es el teorema de los grandes números
Para verificar cuales puntos caen dentro del circulo usaremos el calculo de la hipotenusa. Todo punto cuya hipotenusa sea mayor a UNO sera contado como aguja fuera del circulo y las que se calculen como menores serán sumadas a agujas dentro del circulo.
Valiendo nos de toda esta información es posible simular y calcular el número de pi mediante simulaciones de Montecarlo.

Comentarios (60)60 comentarios

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