Cálculo de Probabilidades y Simulación de Montecarlo

Curso de Estadística Computacional con Python

Contenido del curso

Introducción

1
Programación Dinámica y Estocástica: Optimización y Modelado de Datos
01:56 min

Programación Dinámica

Caminos Aleatorios

Programas Estocásticos

Simulaciones de Montecarlo

Muestreo e Intervalos de Confianza

Datos Experimentales

Conclusiones

24
Optimización de Programas con Programación Dinámica y Simulaciones
02:54 min

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Cálculo de Probabilidades y Simulación de Montecarlo

Curso de Estadística Computacional con Python

Clase 10 de 24

Clase 10 / 24

Recursos

Comprender cómo se calculan las probabilidades es una habilidad esencial para cualquier persona que trabaje con programación estocástica. Saber medir la certidumbre de que un evento ocurra permite tomar mejores decisiones y construir modelos más robustos. A continuación se explican las leyes fundamentales de la probabilidad y cómo aplicarlas con un ejemplo práctico usando un dado de seis caras.

¿Qué es la probabilidad y cómo se mide?

La probabilidad es una medida de la certidumbre que tenemos sobre si un evento futuro sucederá o no. Se expresa siempre en un rango entre cero y uno [0:14]. Cero significa que el evento jamás ocurrirá —por ejemplo, ver un unicornio volando por la calle— y uno significa que es seguro que suceda, como que amanezca al día siguiente [0:44].

Cuando hablamos de probabilidad, lo que realmente nos preguntamos es cuál es la fracción de eventos favorables dentro de un universo de eventos posibles [1:18]. Para conocer ese universo, es necesario enumerar todas las posibilidades. Esto conecta directamente con técnicas ya conocidas como la enumeración exhaustiva, también llamada brute force [1:30].

¿Cuáles son las leyes fundamentales de la probabilidad?

¿Cómo funciona la ley del complemento?

La ley del complemento establece que la probabilidad de que un evento suceda más la probabilidad de que no suceda siempre suman uno [1:46]. Es decir, P(A) + P(no A) = 1. Si la probabilidad de sacar un uno en un dado es 1/6, la probabilidad de no sacar un uno es 5/6 [4:33].

¿Qué dice la ley multiplicativa?

La ley multiplicativa responde a la pregunta: ¿cuál es la probabilidad de que un evento suceda y otro también suceda? [2:05] Se obtiene multiplicando las probabilidades individuales. Un detalle crucial: el resultado siempre será menor que cualquiera de las probabilidades por separado. Por ejemplo, la probabilidad de ser programador y además gustar de la música siempre es menor que la probabilidad de simplemente ser programador [2:28].

¿Cuándo se aplica la ley aditiva?

La ley aditiva resuelve la pregunta: ¿cuál es la probabilidad de que A suceda o B suceda? [2:55] Cuando los eventos son mutuamente exclusivos —no pueden ocurrir al mismo tiempo—, simplemente se suman las probabilidades. Cuando no son mutuamente exclusivos, hay que restar la probabilidad de que ambos ocurran juntos para evitar contar de más [3:18].

Por ejemplo, si la probabilidad de que amanezca es 1 y la probabilidad de estar programando es 0.5, la suma directa daría 1.5, lo cual está fuera de rango. Se resta entonces la probabilidad conjunta de que amanezca y esté programando, y el resultado vuelve al intervalo válido [3:30].

¿Cómo se calculan probabilidades con un dado?

Un dado de seis caras tiene exactamente seis posibilidades: del uno al seis [4:04]. Cada cara tiene una probabilidad de 1/6, aproximadamente 0.166. Si preguntamos cuál es la probabilidad de obtener un uno o un dos, sumamos: 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3 [4:27]. Esto tiene sentido porque estamos cubriendo una tercera parte de todas las opciones.

Ahora bien, ¿cuál es la probabilidad de no obtener un uno en diez tiros seguidos? Aquí se aplica la ley multiplicativa con el operador "y": no obtuve un uno y no obtuve un uno y así sucesivamente [5:08]. El cálculo es (5/6)^10, que da aproximadamente 0.1615. Aplicando la ley del complemento, la probabilidad de obtener por lo menos un uno en diez tiros es 1 − (5/6)^10 ≈ 0.8384 [5:55].

La palabra "y" siempre implica multiplicar probabilidades.
La palabra "o" implica sumar probabilidades en eventos mutuamente exclusivos.
El complemento permite obtener la probabilidad contraria restando de uno.

Calcular probabilidades de forma analítica funciona bien en escenarios sencillos, pero a medida que las situaciones se vuelven más complejas, el razonamiento matemático se dificulta enormemente [6:15]. La alternativa es usar simulación: crear un dado virtual, lanzarlo miles o cientos de miles de veces y observar las frecuencias resultantes [6:28]. En lugar de resolver ecuaciones, dejamos que la computadora reproduzca el experimento. Esta idea es precisamente el origen de las simulaciones de Montecarlo, un método poderoso que permite estimar probabilidades de manera práctica cuando el cálculo analítico se vuelve inviable [6:55].

¿Has intentado calcular probabilidades complejas de forma analítica? Comparte tu experiencia y cuéntanos si prefieres el enfoque matemático o la simulación.

Karl Behrens Gil

Hace 6 años

https://github.com/karlbehrensg/programacion-dinamica-y-estocastica Cálculo de Probabilidades

La probabilidad es una medida de la certidumbre asociada a un evento o suceso futuro y suele expresarse como un número entre 0 y 1. Una probabilidad de 0 significa que un suceso jamás sucederá, y en su contraparte una probabilidad de 1 significa que está garantizado que sucederá.

Al hablar de probabilidad preguntamos qué fracción de todos los posibles eventos tiene la propiedad que buscamos, por eso es importante poder calcular todas las posibilidades de un evento para entender su probabilidad. La probabilidad de que un evento suceda y de que no suceda es siempre 1.

Ley del complemento:
- P(A) + P(~A) = 1
Ley multiplicativa:
- P(A y B) = P(A) * P(B)
Ley aditiva:
- Mutuamente exclusivos: P(A o B) = P(A) + P(B)
- No exclusivos: P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A y B)

Para ver un ejemplo práctico de las leyes anteriores vamos a realizar un ejercicio de el lanzamiento de un dado de 6 caras:

La probabilidad de que salga el número 1:

Tenemos 6 posibilidades y el número 1 es una de ellas, por lo que la probabilidad es 1/6.
La probabilidad de que nos toque el numero 1 o 2:

Tenemos 6 posibilidades y el número 1 es una de ellas y el 2 es otra. El que nos toque un número es mutuamente exclusivo, ya que no podemos obtener 2 números al mismo tiempo. Bajo esta premisa utilizaremos la ley aditiva mutuamente exclusiva.

P(1 o 2) = P(1) + P(2)

P(1 o 2) = 1/6 + 1/6

P(1 o 2) = 2/6
La probabilidad de que nos salga el número 1 al menos 1 vez en 10 lanzamientos:

Para cada lanzamiento tenemos la posibilidad de 1/6 de que nos toque 1, por lo que utilizamos la ley multiplicativa.

(1/6)^10 = 0.8333

JESUS ALBERTO CARREÑO MARTINEZ

Hace 6 años

Ah sido uno de los mejores aportes que eh visto, felicidades, sigue asi!!!

Jonathan Maita

Hace 6 años

Hola!! (1/6)^10 no es igual a 0,8333.

Saludos.

Comentarios (116)116 comentarios

johan Stever Rodriguez Molina

Hace 7 años

JOSE DANIEL HERNANDEZ BETANCUR

Juan Alonso Alcala

Jonathan Edwin Gutiérrez Olvera

Luis Davaria

Miguel Angel Reyes Moreno

Jaime Eduardo González Meléndez

Luis Fernando Pedroza Taborda

Ricardo San Martín Hidalgo

Juan David Vergara Torres

- -

Saul Burgos

Jhon Freddy Puentes Nuñez

Aaron Joel Limachi Quispe

Alvaro Max Landeros Hernandez

Daniel Andrés Giraldo Benites

Matías Collado

Hace 4 años

Geovany Uribe Aguirre

Renzo Flores Ugarte

Hector F

Miguel Torres

Emanuel Castañeda

Luis Xavier Perez Miramontes

Daniel Paloma Murcia

Pedro vicente sanchez

Germán Danilo Forero Vargas

freddy Mejia

Pedro Alejandro Rodríguez García

Anderson Meza

angel ayala

Pat Villarroel

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Daniel Correa

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Programación Dinámica

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Caminos Aleatorios

Simulaciones con Caminos Aleatorios en Programación

Camino Aleatorio en Programación Orientada a Objetos

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Teorema del Límite Central: Transformación de Distribuciones

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Regresión Lineal con NumPy y Matplotlib en Google Colab

Conclusiones

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