Hallando la ecuación de un plano

Hay varias formas de calcular la ecuación de un plano:

1. con un punto y con el vector normal al plano
2. con 3 puntos
3. con un punto y con una recta que está en el plano

Recordemos lo siguiente:

• La ecuación de un plano es ax + by + cz + d = 0
• el vector normal esta dado por <a, b, c> ó ai + bj + ck, donde i, j, k son los vectores unitarios en R3
• un punto en el espacio esta dado por (x, y , z)
• un vector posición es simplemente la resta de dos vectores:
  Por ejemplo: el vector posición r es vector a menos vector b porque la flecha de r la queremos en la punta del vector a. si quisieras que la punta del vector r este en en la punta de b pues harías la resta de vector b - vector a.
  el vector r del ejemplo se lee: vector posición de a respecto de b
  

Dicho lo anterior, podemos comenzar…

1. En el caso 1 pues solo sustituimos los valores que tiene el punto y los valores que tiene el vector normal en la ecuación de la recta, calculamos el valor de d y luego volvemos a usar la ecuación del plano con los valores del vector normal y con el valor d que acabamos de calcular dejando las variables x, y, z así como están.
   Ejemplo: Calcular la ecuación del plano que contiene al punto punto (1, -2 ,4) y tiene un vector normal igual a <2, 3, -1>.
   hacemos lo que nos dice el punto 1) y nos queda: (2)(1)+(3)(-2)+(-1)(4)+d=0, lo resolvemos y nos queda: -8+d= 0, despejando d nos da que d=8, entonces usamos la formula de la ecuación del plano incluyendo solo los valores del vector normal y la variable d y nos queda la ecuación de la siguiente manera: 2x + 3y - z + 8 = 0
2. En el caso 2 lo primero que hay que hacer es seleccionar dos puntos y luego calcular los vectores posición de esos puntos respecto al otro punto que sobra
   
   una vez teniendo los dos vectores posición r1 y r2 lo siguiente es hacer el producto cruz entre esos 2, osea r2 X r1 y con eso obtenemos el vector normal.
   
   ahora si te das cuenta pues ya tienes vector normal y tienes 3 puntos en el plano, lo que tienes que hacer ahorita es agarrar tu vector normal y cualquiera de los 3 puntos y hacer lo que se hace en el caso 1.
3. En el caso 3 pues para empezar si la ecuación de la recta es paramétrica (que X y Y dependan de t) pues puedes darle a t dos valores diferentes para que de esa manera puedas obtener dos puntos de esa recta. con esos dos puntos pues digamos que en total ya tienes 3 puntos porque un punto ya te lo dio el problema y los otros dos tú los hallaste. ya con esos tres puntos pues puedes hacer lo mismo que en el caso 2.
   aqui te dejo un bosquejo para que veas de manera grafica los datos que puedes crear y usar cuando tienes un punto y una recta. (solo es apoyo visual porque pues el proceso una vez teniendo los 3 puntos pues es el mismo que en el caso 2)
   

Espero haberte ayudado. saludos!