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Ejemplo Ejercicio de Laplace Y’’ + 6y’ + 9y =6t^2 e^-e3t Y(0) = y’(0)=0

Y’’ + 6y’ + 9y =6t^2 e^-e3t Y(0) = y’(0)=0

Sustituimos por el método Laplace ambos lados quedando:
L{y’’} + 6L {y’} + 9L {y} = 6L {t^2 e^–3t}
Lo desplegados
S^2 Y(s) + Sy(0) + y’(0) + 6[SY(s) + Y(0)] + 9Y(s) = 6L {t^2} s-> s+3
Eliminamos los términos que multiplican a 0
S^2 Y(s) + 6[SY(s)] + 9Y(s) = 2! / S^3 s-> s+3
Y al estar en todas partes entonces multiplicamos todo por y(s) dejando
**[ S^2 + 6Y + 9 ] Y(s) = 2! / (S+3)^3 **
Factorizamos
(S + 3)^2 y(s) = 2 / (S+3)^3
Despejamos y(s)
Y(s) = 2 / (S + 3)^2 (S +3)^3
Como S + 3 esta mas de una vez simplificamos terminos
Y(s) = 2/ (S + 3)^5
Para llegar al resultado pasamos a indicar la Inversa de Laplace
L-1 {Y(s)} = L-1 {2/ (S + 3)^5}
Ahora desarrollamos la inversa, el lado derecho tenemos que desplazar S para poder aplicar la inversa de Laplace.
Y(t) = 2 L-1 {1/S^5} s-> s+3
Para continuar hacemos una operación que no afecte el proceso en este caso (4! / 4!) dejando
Y(t) = 2/4! L-1 { 4!/S^5 } s-> s+3
Liberamos el exponente agregando un termino que lo multiplique, dejando asi.
Y(t) = 2/4! t^4 e-3t
Dejando como resultado ½ t4e-3t

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