Explicación del sistema numérico

En multitud de ocasiones nos hemos preguntado por que se usa el sistema binario en la computación y la respuesta la hemos escuchado miles de veces pero, alguna vez se han preguntado ¿De donde viene el sistema binario?.

Bueno para contestar esta pregunta primero tenemos que respondernos que es un sistema numérico. Un sistema numérico es un conjunto de reglas que usamos para expresar y escribir números ya que si lo pensamos, los números son simplemente una sucesión  de unidades. Es decir que si a una unidad le sumamos otra unidad obtendremos un dos y si a esto le sumamos otra unidad obtendremos un tres, y de esta manera hasta el infinito. Todas estas unidades son representadas por un conjunto de símbolos a las que llamamos cifras.  Estas cifras se pueden representar por todo tipo de símbolos en nuestro caso usamos los símbolos indo-arábigos(0 ,1, 2, 3, 4, 5).

ok, ya  a partir de aquí podemos contar de manera infinita sumando unidad tras unidad pero pronto se nos hará difícil realizar operaciones más complejas. ya que tendríamos que  trabajar con símbolos nuevos por cada unidad que queramos representar. Para solucionar este problema se invento el concepto de la base y de los ordenes.

La base es el primer punto que divide a los ordenes  y esta formada por un conjunto de números empezando desde el 0 hasta llegar a un numero anterior al que representa la base.

Es decir que si nuestra base representa diez  unidades los números que la anteceden serán {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y para representar  las diez unidades  le designamos una cifra a  su izquierda  que represente unidades tantas veces mayores  que las que representa a la anterior , como unidades tenga la base.

Esto quiere decir que en el numero 12 por ejemplo el numero 1 representa unidades 10 veces más grandes que las que representa el numero dos. y esto se puede pasar a cualquier otro sistema. Por ejemplo:

imaginemos que nos quedamos sin símbolos hasta el número  4. Entonces nuestro conjunto de números seria {0, 1, 2, 3, 4}. A partir de aquí nos preguntamos  ¿como representamos un número más alto?  Bueno según las reglas que hemos visto anteriormente lo representaríamos de esta manera.

10 (donde el numero uno representa un valor cinco veces mayor que el numero 0 a su izquierda )

ya con esta información tenemos uno de los principios fundamentales de los sistemas numéricos.

“En todo sistema una cifra escrita a la izquierda de la otra  representa unidades tantas veces mayores que las que representa la anterior, como indique la base”

ok, ya encontramos uno de los principios fundamentales de los sistemas numéricos pero , aun nos faltan algunas cosas. Como por ejemplo los ordenes.

Un orden es el conjunto de  unidades por los que se compone la base, si la base es 10 el primer orden seria {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} podemos determinar que el orden posee diez  unidades y que el numero 10 representa el inicio de un nuevo orden. En este nuevo orden podemos decir que la unidad por la que esta formado es el 10 y el 10 a su vez esta formado por 10 unidades. Podemos determinar  que el nuevo orden superior debería de tener  la misma cantidad de unidades que el orden inferior .

Lógicamente este nuevo orden se compondría de la suma de sus unidades . por lo tanto  estaría compuesto por {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90} y para representar la suma de 10 unidades lo realizamos de la misma manera que el orden  inferior (100) y de esta manera tenemos un sistema replicable a todos los números  y a todos los sistemas numéricos de cualquier base.

a partir de aquí obtenemos el segundo principio fundamental el cual es:

“En todo sistema, un número de unidades de cualquier orden, igual a la base, forma una unidad del orden inmediato superior.”

Aun nos falta el ultimo principio el cual es:

“En todo sistema , con tatas cifras como unidades tenga la base, se pueden escribir todos los números.”

Este principio responde a la sucesión lógica ya que si en algún punto la rompemos se perderá el valor de los números anteriores. Es decir que si en un sistema en el que la primera unidad de cuente en decenas {1-9} y en el segundo orden sea de 5 unidades {10 - 50} entonces este sistema seria inútil ya que la sucesión lógica se cortaría y se saltaría 50 unidades para llegar al siguiente orden.

Bueno, ya sabiendo estos fundamentos solo debemos de aplicárselo al sistema de numérico con el numero mínimo de unidades.

En este sistema las primeras unidades serian 0 y 1 por que son las expresiones mínimas para representar la unidad y la ausencia de unidades. La base es 2 y se representaría  con el numero 10. La siguiente unidad estaría compuesta por el mismo numero de unidades que la base osea 10 + 10 que en este sistema se representaría como 100 y su valor seria 4, de esta manera pasaría igual hasta el infinito con el resto de unidades .

espero que mi explicación les allá sido de ayuda. La información sobre el tema la encontré en el aritmética de Baldor en los capítulos 1 (Estudio del sistema decimal) y 2(estudio de otro sistemas numéricos).