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De dos dimensiones a tres de manera sencilla

En cálculo, pasar de dos dimensiones (R^2) a tres dimensiones (R^3) puede resultar un verdadero dolor de cabeza, porque esto representaría un problema al graficar dentro de nuestra cabeza las funciones ahora en el espacio.
plano.png

Una forma de pensarlo que me gusta es mirando una esquina donde el piso seria el plano xy.
plano_1.png

Al mirar a la pared de la izquierda estaríamos teniendo el plano xz.
plano_2.png

Y al mirar a la pared de la derecha, veríamos un plano zy.
plano_3.png

Dicho esto se nos hace más fácil pensar que tipo de representación en el espacio tendría una ecuación o nuestra función porque podríamos ver en cada uno de los planos como se muestra. Dicho esto podemos presentar la ecuación de segundo grado en dos variables en forma general.
ecuacion.png

¡No se alarmen! Es una ecuación general y puede resultar confusa pero cuando lo veamos con un ejemplo será más fácil. Con esta ecuación podremos ir encontrando las intersecciones con los ejes y sus respectivos plano. Veámoslo con un ejemplo.

Dada la ecuación 3x + 6y + 4z = 12, debemos hallar las intersecciones con los ejes y los planos. (hint: está ecuación se ve menos complicada que la de la forma general, ¿no?)

Empecemos buscando las intersecciones con los ejes, esto lo que nos pide es saber el valor de un punto en determinado eje cuando sus otros dos puntos son cero, démosle un vistazo mejor con un ejemplo.
intersecciones.png

¡Wuao! Mire lo sencillo que resulto encontrar los puntos y ahora vean como se ven en el gráfico.
intersecciones_plano.png

Esto es a lo que nos referíamos arriba de encontrar la intersección con los ejes, sencillo ahora que lo vimos con un ejemplo, ¿no?.

Ahora veamos como se ven los planos.
planos_2.png

Veamos que la ecuaciones que obtenemos son de la forma y = mx +b, una ecuación de R2. Ahora veamos como se ven los planos en el gráfico.

  • Plano XY
    plano_xy.png

  • Plano XZ
    plano_xz.png

  • Plano YZ
    plano_yz1.png

Como pudimos ver este tipo de herramientas nos sirven para visualizar nos sirve para ver las figuras en nuestro gráficos, básicamente nos apoyamos en los planos (en pocas palabras, nos apoyamos en R2). En caso de que estén graficando y no puedan ver la ecuación o la función, les recomiendo utilizar Geogebra que es un graficador con un montón de utilidades.

Espero les haya servido este tutorial para poder ir cambiando la perspectiva de R2 a R3. Nos estamos leyendo y espero les sirva.

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