Las desigualdades, también llamadas inecuaciones, son comparaciones matemáticas que usan los símbolos menor que, mayor que, menor o igual que y mayor o igual que. A diferencia de una ecuación, donde igualas dos cantidades, aquí comparas magnitudes y defines rangos de valores posibles para una variable. Si estudias matemáticas básicas o te preparas para álgebra, dominar estas reglas te ahorra errores típicos al despejar.

¿Qué es una desigualdad y cómo se representa?

Una desigualdad expresa que un valor es mayor, menor, mayor o igual, o menor o igual que otro. Y tiene tres formas de representarse: con símbolos, en notación de intervalo y en una recta numérica.

¿Cómo se ven los intervalos abiertos y cerrados?

En la representación por intervalos, el detalle clave está en los paréntesis y los corchetes. Cuando un valor no se incluye, hablamos de intervalo abierto y usamos paréntesis. Cuando sí se incluye, es intervalo cerrado y usamos corchetes.

• x mayor que a: intervalo (a, ∞). En la recta numérica, círculo sin rellenar sobre a y flecha hacia infinito positivo.
• x menor que a: intervalo (-∞, a). Círculo sin rellenar sobre a y flecha hacia menos infinito.
• x mayor o igual que a: intervalo [a, ∞). Círculo relleno sobre a, porque sí se incluye.
• x menor o igual que a: intervalo (-∞, a]. Círculo relleno sobre a [02:18].

¿Por qué el infinito siempre va con paréntesis? Porque infinito no es un número exacto. Te acercas a él, pero nunca lo alcanzas, así que nunca se incluye como extremo cerrado.

¿Y si la variable está entre dos valores?

Ahí entran las desigualdades múltiples o encadenadas, donde comparas tres cosas a la vez. Por ejemplo, a menor que x menor que b significa que x vive entre a y b sin incluir los extremos: intervalo (a, b) y dos círculos vacíos en la recta.

Si incluyes ambos extremos, el intervalo pasa a [a, b] y los círculos se rellenan. También puedes mezclar: (a, b] incluye solo a b, y [a, b) incluye solo a a. La regla visual es directa, el paréntesis siempre acompaña al extremo que no entra.

¿Cómo se operan las desigualdades sin equivocarse?

La suma y la resta funcionan exactamente igual que en una ecuación. Lo que pasa de un lado, pasa del otro, sin alterar el símbolo. La trampa aparece en la multiplicación y la división, sobre todo cuando interviene un número negativo.

¿Qué pasa al multiplicar o dividir por un número positivo?

No pasa nada raro: el símbolo de la desigualdad se queda igual. Si tienes x dividido entre 2 menor o igual que 5, el 2 pasa multiplicando y obtienes x menor o igual que 10. Mismo procedimiento que con una igualdad.

Lo mismo aplica si el coeficiente positivo está multiplicando: pasa al otro lado dividiendo y la orientación del símbolo se mantiene intacta [05:42].

¿Qué cambia con los números negativos?

Aquí está el punto crítico que más confunde. Cuando multiplicas o divides ambos lados por un número negativo, el símbolo de la desigualdad se invierte por completo.

Ejemplo: si tienes x dividido entre -2 menor o igual que -8, al pasar el -2 multiplicando, el símbolo se voltea y queda x mayor o igual que 16, porque -8 por -2 da +16.

Otro caso: -3x menor que 6. El -3 pasa dividiendo y el símbolo se invierte:

• Lado izquierdo: x.
• Símbolo: cambia de menor que a mayor que.
• Lado derecho: 6 entre -3 igual a -2.
• Resultado: x mayor que -2.

¿Cuándo invierto el signo de una desigualdad? Solo cuando multiplicas o divides ambos lados por un número negativo. Sumar o restar números negativos no cambia el símbolo.

¿Cómo resolver una desigualdad doble paso a paso?

Una desigualdad doble tiene tres secciones, y la regla es que cualquier operación se aplica en las tres al mismo tiempo. Despejas la variable del centro tratando los tres bloques como uno.

Mira este ejemplo: -10 menor o igual que 2x - 4 menor que 6.

1. Suma 4 en las tres partes para eliminar el -4 del centro: -10 + 4 menor o igual que 2x menor que 6 + 4.
2. Simplifica: -6 menor o igual que 2x menor que 10.
3. Divide las tres partes entre 2 para aislar la x: -6/2 menor o igual que x menor que 10/2.
4. Resultado final: -3 menor o igual que x menor que 5.

Esto significa que x puede tomar cualquier valor entre -3 y 5, incluyendo el -3 pero no el 5. En notación de intervalo: [-3, 5) [09:30].

El truco para no fallar es simple: trata cada operación como un movimiento simétrico en los tres lados, y vigila siempre los signos negativos por si toca invertir los símbolos. ¿Te ha pasado equivocarte justo en ese paso? Cuéntame en los comentarios cómo resuelves tus desigualdades con coeficientes negativos.