Dominar las leyes de los signos y las leyes de los exponentes es la diferencia entre resolver bien un examen de álgebra o terminar con un resultado completamente distinto por un error mínimo. Esta guía te muestra cómo aplicarlas paso a paso, con ejemplos claros y un ejercicio resuelto que combina ambas reglas.

¿Cómo funcionan las leyes de los signos en multiplicación y división?

Las leyes de los signos te permiten saber qué signo tendrá tu resultado antes incluso de operar los números. Y lo mejor es que funcionan igual para multiplicar y para dividir.

Estas son las cuatro combinaciones posibles:

• Más por más da más.
• Más por menos da menos.
• Menos por más da menos.
• Menos por menos da más.

¿La ley de signos cambia entre multiplicación y división? No. Es exactamente la misma regla. Si multiplicas o divides dos términos con el mismo signo, el resultado es positivo; con signos distintos, el resultado es negativo.

Por ejemplo, al multiplicar 2x por 2y siempre obtienes 4xy; lo único que cambia es el signo según los signos de cada término [0:55]. Lo mismo aplica si divides 2x entre 3y: el cociente es el mismo y solo cambia el signo final [1:54].

¿Cuáles son las leyes de los exponentes que debes memorizar?

Aquí subimos de nivel. Las leyes de los exponentes son varias, pero cada una resuelve un caso muy específico que te vas a encontrar todo el tiempo en álgebra [2:30].

Producto y cociente con la misma base

Cuando tienes la misma base multiplicándose, los exponentes se suman: a^m por a^n = a^(m+n). Por ejemplo, x² por x³ = x⁵ [2:55].

Cuando la misma base se está dividiendo, los exponentes se restan: a^m entre a^n = a^(m−n). Así, x⁵ entre x³ = x² [3:24].

Potencia de una potencia y distribución

Si un exponente está elevado a otro exponente, los exponentes se multiplican. Por ejemplo, (x²)³ = x⁶ [3:48].

Cuando una multiplicación está elevada a un exponente, ese exponente se distribuye a cada factor: (2y)³ = 2³ por y³ = 8y³ [4:10]. La misma lógica aplica a fracciones: (x/2)² = x²/4 [4:39].

Exponente cero, negativo y uno

Tres reglas que parecen pequeñas pero te salvan en cada ejercicio:

• Cualquier base distinta de cero elevada al exponente cero es igual a uno. Es decir, x⁰ = 1 y 5⁰ = 1 [4:55].
• Un exponente negativo se vuelve positivo al pasar el término al denominador de una fracción con numerador uno: x⁻² = 1/x² [5:23].
• Cualquier base elevada al exponente uno es igual a sí misma: 5¹ = 5 y x¹ = x [5:46].

¿Qué hago con un exponente negativo? Lo conviertes en positivo moviendo el término al denominador de una fracción con numerador uno. Si está en el denominador, lo subes al numerador con exponente positivo.

¿Cómo aplicar todas las leyes en un ejercicio combinado?

Vamos al ejercicio que une todo. Tenemos la expresión ((2x³y²)² por x⁻¹y) / (−4x²y³) [6:09].

Primero resolvemos el cuadrado del primer paréntesis distribuyendo el exponente y multiplicando exponentes cuando uno está elevado a otro:

• 2² = 4.
• (x³)² = x⁶.
• (y²)² = y⁴.

El numerador queda 4x⁶y⁴ por x⁻¹y [6:51]. Como tenemos la misma base multiplicándose, sumamos exponentes: x⁶ por x⁻¹ = x⁵ y y⁴ por y¹ = y⁵. El numerador se reduce a 4x⁵y⁵ [7:42].

Ahora separamos en fracciones por términos semejantes: (4/−4) por (x⁵/x²) por (y⁵/y³) [8:13]. Aplicamos ley de signos en 4 entre −4, que da −1, y restamos exponentes en las divisiones: x⁵⁻² = x³ y y⁵⁻³ = y² [8:36].

El resultado final es −x³y². Toda esa expresión enorme se simplificó a tres términos.

¿Por qué el resultado quedó negativo? Porque al dividir 4 positivo entre −4 negativo, la ley de los signos indica que más entre menos da menos. El 1 desaparece porque no altera el producto, pero el signo se queda.

Ahora te toca a ti: practica con una expresión que combine signos y exponentes, y deja tu resultado simplificado en los comentarios.