Entender las operaciones con vectores es crucial en matemáticas y en el análisis de datos. Hasta ahora, hemos aprendido operaciones fundamentales como la suma, el producto punto y cómo multiplicar vectores por escalares. Al comprender estas operaciones, también hemos logrado aplicaciones prácticas, como la creación de un modelo básico de análisis de sentimientos.
Sin embargo, algunos términos vitales aún no han sido definidos, como la magnitud, el sentido y la orientación del vector. En el caso del sentido, hemos visto que se invierte al multiplicar por escalares. Ahora, vamos a adentrarnos en el concepto de magnitud, introduciendo la "norma", un concepto elemental en el álgebra lineal y la geometría.
La norma de un vector es una medida de su longitud. La más común es la norma euclidiana, la cual mide la distancia utilizando la fórmula de Euclides. La notación para esta operación es con dos barras verticales de cada lado del vector.
Veamos un ejemplo: para un vector ((1, 2, 3)), su magnitud se calcula como:
Homogeneidad no negativa: La norma de un vector multiplicado por un escalar positivo es el producto del valor absoluto del escalar por la norma del vector original.
Desigualdad del triángulo: La suma de normas no puede ser mayor que la norma de la suma de los vectores.
No negatividad: La norma de un vector siempre es mayor o igual a cero, siendo cero solo cuando el vector es el vector cero.
Por ejemplo, si tomamos un vector ((2, -1, 2)), su norma es:
Para aplicar estos conceptos en programación, utilizamos librerías como NumPy en Python que facilitan el cálculo de la norma.
import numpy as np
defnorma(vector):return np.sqrt(np.dot(vector, vector))u = np.array([1,1])print("La norma de u es:", norma(u))
La función norma toma un vector y devuelve su magnitud. Se utiliza np.dot para calcular el producto punto del vector consigo mismo y np.sqrt para obtener la raíz cuadrada.
Escalamiento y propiedad de la homogeneidad
Para ilustrar la propiedad de homogeneidad:
u = np.array([1,1])norma_u = norma(u)escalar =2u_escalado = u * escalar
print("La norma de 2 * u es:", norma(u_escalado))
Aunque escalamos ( u ) por ( 2 ), la magnitud del vector resultante será ( 2 ) veces la de ( u ).
¿Qué es la desigualdad del triángulo?
La desigualdad del triángulo dice que la magnitud de la suma de dos vectores no puede superar la suma de sus magnitudes individuales. Vamos a probar esto:
v = np.array([-1,1])print("Norma de u + v:", norma(u + v))print("Suma de normas de u y v:", norma(u)+ norma(v))
La igualdad o desigualdad que obtengamos al realizar esto validará la propiedad.
Reflexionando sobre vectores rotados
Finalmente, observamos cómo dos vectores de igual norma pueden diferir en orientación, como es el caso de ( u ) y ( v ). Aunque ambos vectores tienen la misma magnitud, apuntan en direcciones diferentes, lo que abre las puertas a entender nociones de rotación y transformación de vectores en espacios multidimensionales.
Continúa practicando con estos ejemplos y jugando con diferentes vectores y operaciones. Esto no solo fortalecerá tu comprensión teórica, sino que también mejorará tus habilidades prácticas en programación y análisis de datos. ¡Sigue aprendiendo y explorando el fascinante mundo de los vectores!
Estimados en estricto rigor las demostraciones que se están llevando a cabo de la propiedades que hemos estado viendo están incompletas, los invito a demostrarlas matemáticamente( como el profesor lo hizo con la demostración de la igualdad de los ángulos opuestos por el vértice), ya que con tan solo demostrarlas para UN VALOR EN PARTICULAR no nos garantiza que sea cierta para todos los valores, incluso usando programación. Los invito a revisar literatura respecto de como entender y hacer demostraciones en matemáticas, los textos de Polya van en ese sentido.
Lo tengo que preguntar
Cuales son los libros que Ulises tiene la mesa?
Genetic algorithms
The art of agent oriented modeling
Autonomous bidding agents
Vectores y Tensores
Hola Javier, esta es la lista de los libros :)
Excelente demostracion. Muy clara!
Demostración matemática de la desigualdad triangular:
link
Hola amigos.
Para complementar en la clase también pueden usar librería de numpy ** np.linalg.norm(u)** la cual calcula la norma y se ahorrarían crear la función que hace esa tarea:
Ligero detalle; la función sqrt se lee "Square Root", es decir; raíz cuadrada.
Hola amigos,
Norma, módulo o valor absoluto de un vector.
Cumple con las propiedades indicadas por el profesor. La demostración que deja propuesta se realiza colocando dentro de la raíz la suma de componente a componente iguales de cada n-vector (x e y) al cuadrado; desarrollando los productos notables y simplificando. se llega a la demostración.
En efecto, el módulo, norma o valor absoluto del vector es muy importante en la aplicación de física en la vida real ya que en un vector desplazamiento significará la distancia, para un vector fuerza su módulo será la intensidad de ella. lo mismo pata las magnitud vectoriales velocidad y aceleración.
Saludos
Con respecto a la propiedad de la desigualdad del triángulo, en código, haciendo la demostración con los mismos vectores u y v utilizados por el profesor y, su definición previa, resulta:
norma(u+v)np.sqrt(norma(u)**2+2*u@v+norma(v)**2)
el resultado es: 2.0 = 2.0
Método de numpy para calcular la norma del vector 'a' sin tener que crear una función:
np.linalg.norm(a)
La función rms(x) o norma RMS (Root Mean Square) es una medida utilizada para calcular la magnitud o longitud de un vector x en un espacio n-dimensional. La norma RMS se define como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las componentes del vector, dividida por la dimensión n y luego tomada la raíz cuadrada nuevamente.
Matemáticamente, la norma RMS se define como:
rms(x)=sqrt((x0^2+ x1^2+...+ x_{n-1}^2)/n)
Donde x0, x1,..., x_{n-1} representan las componentes del vector x y n es la dimensión del vector.
La norma RMS se utiliza comúnmente para medir la magnitud de un vector en señales o series de tiempo, ya que permite obtener una medida de la amplitud promedio de las componentes del vector.
La interpretación de la norma RMS es que representa la raíz cuadrada del promedio de los cuadrados de las componentes del vector, normalizado por la dimensión n. Es una medida de la "longitud" o "magnitud" del vector en relación con la dimensión del espacio en el que se encuentra.
En resumen, la norma RMS proporciona una medida de la magnitud promedio de un vector en un espacio n-dimensional, teniendo en cuenta todas las componentes del vector.
Con estas funciones pueden comprobar la norma de una suma, para cualquier par de n-vectores ambas dan el mismo resultado:
Para que no haya confusiones, lo que se muestra en el video como "Valor cuadrático medio" debería llamarse "Root Mean Squared Error" (RMSE), porque el "MSE" (es decir, lo que llaman Valor Cuadrático Medio en el video aunque en realidad es Error Cuadrático Medio) es sin raíz cuadrada.
La norma es ampliamente usada, en particular podemos señalar los siguientes ejemplos:
Valor cuadrático medio. Algunas veces también es llamado simplemente RMS.
Norma de una suma.
Norma de una bloque de vectores. La norma de vectores será simplemente la raíz cuadrada de la suma de sus componentes.
Propiedades de la norma.
Homogeniedad no negativa.
Desigualdad del triángulo.
No-negatividad.
Un espacio vectorial es el objeto básico de estudio en álgebra lineal. A los elementos de los espacios vectoriales se les llama vectores. Sobre los vectores se pueden realizar dos tipos de operaciones:
La multiplicación por escalares y la adición. Es importante conocer la longitud de los vectores. Para esto es necesario definir un operador norma que determine la longitud o magnitud del vector.
