Cursos Empresas Blog Live Conf Eventos Precios

0:0010:02

Recursos

Resumen

¿Qué son las funciones afines?

Las funciones afines son un concepto crucial en matemáticas, particularmente en el estudio del álgebra lineal. Se definen como funciones que pueden expresarse utilizando la fórmula ( f(x) = a^T x + b ), donde:

( a ) y ( x ) son vectores.
( b ) es un escalar, conocido como el offset o el bias.

Estas funciones cumplen propiedades específicas de superposición solo cuando los coeficientes de una combinación lineal suman uno. Por ejemplo, una función dada por ( 3 + x_0 + x_1 + x_2 ) puede representarse como ( a^T x + b ), donde ( a = [1, 1, 1] ) y ( 3 ) es el offset.

¿Cómo se demuestra la propiedad de superposición en funciones afines?

Para verificar si una función afín cumple la propiedad de superposición, debemos confirmar que:

[ \alpha f(x) + \beta f(y) = f(\alpha x + \beta y) ]

solo cuando ( \alpha + \beta = 1 ). La demostración sigue estos pasos:

Partimos de la definición de la función afín: [ f(\alpha x + \beta y) = a^T (\alpha x + \beta y) + b ]
Distribuimos y utilizamos que ( \alpha + \beta = 1 ): [ = a^T \alpha x + a^T \beta y + b ]
Agregamos el escalar utilizando que ( (\alpha + \beta) b = b ) gracias a que ( \alpha + \beta ) es uno: [ = a^T \alpha x + a^T \beta y + (\alpha + \beta)b ]
Finalmente, reagrupamos los términos: [ = \alpha(a^T x + b) + \beta(a^T y + b) ] Ambos términos demuestran la propiedad de superposición, validando así que nuestra función es afín.

Ejercicios propuestos: ¿Cómo aplicar el concepto de funciones afines?

A continuación, te propongo algunos ejercicios para aplicar lo aprendido sobre funciones afines.

Tipos de funciones:
- Determina si las funciones dadas son lineales o no.
- Comprueba si cumplen la propiedad de superposición.
Desempeño en clusters:
- Tenemos un problema basado en sistemas de control:
  - Imagina un clúster con tres procesadores. Midiendo la potencia y temperatura en diferentes estados operativos, deduce el comportamiento de la temperatura.
  - Calcula la temperatura cuando los tres procesadores están a máxima potencia.
  - Asegúrate de que la temperatura no supere los 150 grados.

Recuerda, estos ejercicios están diseñados para reforzar tu comprensión de las funciones afines y su aplicabilidad en problemas reales. Sumérgete en ellos y no dudes en compartir tus soluciones y dudas con la comunidad. ¡Sigue aprendiendo y profundizando en temas matemáticos!

Funciones Afines: Propiedades y Ejercicios Prácticos

Curso de Introducción al Álgebra Lineal: Vectores

Clase 16 / 29

Ver clases

Funciones Afines: Propiedades y Ejercicios Prácticos

Curso de Introducción al Álgebra Lineal: Vectores

Clase 16 de 29

Clase 16 / 29

Funciones Afines: Propiedades y Ejercicios Prácticos

Curso de Introducción al Álgebra Lineal: Vectores

Clase 16 / 29

Ver clases

import numpy as np from sklearn.linear_model import LinearRegression def datos_experimentales(): p_0=np.array([10,10,10]) #en reposo p_1=np.array([100,10,10]) p_2=np.array([10,100,10]) p_3=np.array([10,10,100]) p=np.array([p_0,p_1,p_2,p_3]) t=np.array([35,60,75,65]) return p, t def solucion_metodo1(): #resolvinedo el sistema de ecuaciones ecuacion1="10*a0+10*a1+10*a2+b=35" ecuacion2="100*a0+10*a1+10*a2+b=60" ecuacion3="10*a0+100*a1+10*a2+b=70" ecuacion4="10*a0+10*a1+100*a2+b=65" p=np.array([[10,10,10,1],[100,10,10,1],[10,100,10,1],[10,10,100,1]]) #matrix de coeficientes, potencias de los controladores t=np.array([35,60,70,65]) #matriz de soluciones, temperaturas a=np.linalg.solve(p,t) #obtengo los valores de a y b return a def solucion_metodo2(): #usando minimos cuadrados, numpy.linalg.lstsq # Experimental data: p,t=datos_experimentales() A = np.column_stack([p, np.ones(len(p))]) coefs = np.linalg.lstsq(A, t, rcond=-1)[0] return coefs def solucion_metodo3(): #regresion lineal con sklearn.linear_model # Experimental data: p,t=datos_experimentales() #primera forma: model = LinearRegression() model.fit(X=p, y=t) # print("coeff: ", *model.coef_) # print("intercept: ", model.intercept_) #segunda forma: reg = LinearRegression().fit(p, t) # print (reg.coef_, reg.intercept_) return reg.coef_, reg.intercept_ def T(p): a,b=solucion_metodo3() return a@p+b def run(): print("********metodo1, resolvinedo el sistema de ecuaciones*******") print(solucion_metodo1()) print("") print("********metodo2, usando minimos cuadrados, numpy.linalg.lstsq*******") print(solucion_metodo2()) print("") print("********metodo3, regresion lineal con sklearn.linear_model*******") print("coeff, intercept: ", solucion_metodo3()) print("") p_max_capacity=np.array([100,100,100]) print(f'la temperatura que se alcanza cuando los todos los procesadores estan a su maxima capacidad es de {T(p_max_capacity)}°C')

Robin Angel Romero

Hace 6 años

Aquí mi aporte del ultimo problema, me llevo algo de rato, ya que es un tema que tenia rato de no ver, tuve que repasar algunos conceptos de matrices, hacer varias preguntas... XD, lo que explicare será la forma de obtener los valores de a y b:

hay distintas formas de ver este problema para llegar a la solución, una vez terminé de ver la clase, lo primero hice fue tratar de implementar algún código para encontrar los vectores a y b, como no llegaba a nada, toco plantear el sistema de ecuaciones

35 = [a0 a1 a2][10 10 10] + b 60 = [a0 a1 a2][100 10 10] + b 75 = [a0 a1 a2][10 100 10] + b 65 = [a0 a1 a2][10 10 100] + b

cada ecuación representa las situaciones descritas en el problemas

operando las matrices a y p como indica la función, se obtiene lo siguiente 35 = 10 a0 + 10 a1 + 10 a2 + b 60 = 100 a0 + 10 a1 + 10 a2 + b 75 = 10 a0 + 100 a1 + 10 a2 + b 65 = 10 a0 + 10 a1 + 100 a2 + b así tenemos un sistema de 4 ecuaciones y 4 incógnitas, que es posible resolver de distintas formas, una de ellas es escribir el sistema en su forma matricial, el termino "matricial" no se ha usado mucho hasta ahora en el curso, pero es como si habláramos de stacks de vectores. este sistema se puede resolver con la función linalg.solve de Numpy, la cual nos devolvera en un array con los valores de a0, a1, a2 y b, aqui les dejo un video con explicacion y el codigo implementado https://www.youtube.com/watch?v=G28bJYdqOFQ

import numpy as np

def run():
    
    ecuacion1="10*a0+10*a1+10*a2+b=35"
    ecuacion2="100*a0+10*a1+10*a2+b=60"
    ecuacion3="10*a0+100*a1+10*a2+b=70"
    ecuacion4="10*a0+10*a1+100*a2+b=65"

    p=np.array([[10,10,10,1],[100,10,10,1],[10,100,10,1],[10,10,100,1]]) #matrix de coeficientes, potencias de los controladores
    t=np.array([35,60,70,65]) #matriz de soluciones, temperaturas
    
    a=np.linalg.solve(p,t) #obtengo los valores de a y b

    print(a)

if __name__ == "__main__":
    run()

ejecutando, tenemos el siguiente output:

por lo tanto a0=0.2777778, a1=0.3888889, a2=0.33333 y b=25 así ya hemos encontrado las entradas del vector a y el valor de b, y podemos escribir nuestra función T(P)=a*P+b

ahora bien, si vienen siguiendo la ruta de aprendizaje de escuela de Data Science, habrán pasado por algunos cursos del profesor David Aroesti o el curso de matemáticas para data Science: probabilidad. https://platzi.com/clases/ds-probabilidad/ del profesor Francisco Camacho, que fue agregado recientemente. en ellos se nos ha hablado de la regresión lineal o el metodo de minimos cuadrados, los cuales son altamente aplicables en este problema.

si usamos otro enfoque, lo que tenemos son una serie de datos experimentales que corresponden las temperaturas obtenidas según la configuración de los procesadores, entonces requerimos una función o polinomio que se ajuste al comportamiento de los datos, para nuestra suerte, el ejercicio nos dice que esta función es afín, T(P)=aP+b lo que nos indica que buscamos un polinomio de grado 1 de la forma y=ax+b, una funcion lineal, y benditas sean las librerías como numpy o Scikitlearn que nos brindan métodos para lograr esto, les comparto mi código, en donde se aplican varias formas de obtener los coeficientes a y el valor de b:

import numpy as np
from sklearn.linear_model import LinearRegression

def datos_experimentales():
    p_0=np.array([10,10,10]) #en reposo
    p_1=np.array([100,10,10])
    p_2=np.array([10,100,10])
    p_3=np.array([10,10,100])
    
    p=np.array([p_0,p_1,p_2,p_3])
    t=np.array([35,60,75,65])
    
    return p, t

def solucion_metodo1(): #resolvinedo el sistema de ecuaciones
    ecuacion1="10*a0+10*a1+10*a2+b=35"
    ecuacion2="100*a0+10*a1+10*a2+b=60"
    ecuacion3="10*a0+100*a1+10*a2+b=70"
    ecuacion4="10*a0+10*a1+100*a2+b=65"
    
    p=np.array([[10,10,10,1],[100,10,10,1],[10,100,10,1],[10,10,100,1]]) #matrix de coeficientes, potencias de los controladores
    t=np.array([35,60,70,65]) #matriz de soluciones, temperaturas
    
    a=np.linalg.solve(p,t) #obtengo los valores de a y b
    return a

def solucion_metodo2(): #usando minimos cuadrados, numpy.linalg.lstsq
    # Experimental data:
    p,t=datos_experimentales()
    
    A = np.column_stack([p, np.ones(len(p))])
    coefs = np.linalg.lstsq(A, t, rcond=-1)[0]
    
    return coefs

def solucion_metodo3(): #regresion lineal con sklearn.linear_model
    model = LinearRegression()
    
    # Experimental data:
    p,t=datos_experimentales()

    model.fit(X=p, y=t)

    print("coeff: ", *model.coef_)
    print("intercept: ", model.intercept_)
    
def run():
    print("********metodo1, resolvinedo el sistema de ecuaciones*******")
    print(solucion_metodo1())
    print("********metodo2, usando minimos cuadrados, numpy.linalg.lstsq*******")
    print(solucion_metodo2())
    print("********metodo3, regresion lineal con sklearn.linear_model*******")
    solucion_metodo3()
if __name__ == "__main__":
    run()

Output:

Espero que esto ayude, hare otro aporte respondiendo a los incisos usando los resultados obtenidos aquí

Jorge Urrea

Hace 6 años

Excelente contrubución! Muchas gracias!

Anthony Jean Paul Blaz Lazo

Hace 6 años

Muy buen enfoque

Comentarios (59)59 comentarios

Angel Estrada

Daniel Pérez

Daniel Camilo Velez Malagon

Jorge Cruz Perez

Abel Camacho

Hace 5 años

Axel Díaz

Rafael Rivera

Hace 4 años

Daniel Felipe Montenegro

Valenttina Cardozo

Carlos Felipe Saldarriaga Bejarano

Ulises Rayon

Profesor

Sergio Alejandro Martínez

Miguel Angel Reyes Moreno

Marco Carmona

CRISTIAN BARBERO PÉREZ

CARLOS JAVIER ANZOLA CASTELLANOS

Alejandro López

Hace 3 años

Mariano Gobea Alcoba

jesus Encinas

David Campos

JAVIER SANTIAGO SALGADO

Samuel José Moreno

Jeinfferson Bernal G

Recursos

Resumen

Funciones Afines: Propiedades y Ejercicios Prácticos

Funciones Afines: Propiedades y Ejercicios Prácticos

Funciones Afines: Propiedades y Ejercicios Prácticos

Progreso del curso

Introducción al curso

Vectores

Funciones lineales

Norma y distancia

Clustering

Cierre

Funciones Afines: Propiedades y Ejercicios Prácticos

Funciones Afines: Propiedades y Ejercicios Prácticos

Recursos

Resumen

¿Qué son las funciones afines?

¿Cómo se demuestra la propiedad de superposición en funciones afines?

Ejercicios propuestos: ¿Cómo aplicar el concepto de funciones afines?

Comentarios

Recursos

Resumen

¿Qué son las funciones afines?

¿Cómo se demuestra la propiedad de superposición en funciones afines?

Ejercicios propuestos: ¿Cómo aplicar el concepto de funciones afines?

Comentarios