Caminos y ciclos eulerianos

En un camino se supone que no se debe de repetir ni vértice ni arista, ¿Por qué en un camino Euleriano sí puedo repetir los vértices mas no las aristas?

En el ejemplo del profe:
Ve-Vd-Vc-Va-Vd-Vb-Va-Vb-Ve-Vf
Se repiten los vértices en negrita

Condición para la existencia de un camino euleriano:
No existen más de dos vertices con grado impar, además el camino debe empezar y terminar en un vertice con grado impar.
Condición para la existencia de un ciclo euleriano:
Todos los vertices tienen grado par, además, como es un ciclo, empieza y termina en el mismo vertice.

Un profesor completamente confundido e ignorante de este tema. La plataforma debería tener un profesor revisor de cada curso, que pudiera evitar subir este tipo de contenido. Se nota que el profesor se da cuenta cuando se confunde y acelera el paso para salir cuanto antes del tema, se vale en un curso presencial, pero ¿en un curso en línea y que además tiene costo? La crítica es para que sustituyan la lección por una que sea correcta.

Caminos y ciclos Eulerianos:
Camino Euleriano: Consiste en un camino que recorra todos los vertices y aristas sin repetir aristas. Para que exista un camino euleriano se debe cumplir que existen como máximo dos vertices de grado impar y debemos empezar por ellos.
Ciclo euleriano: Es un camino euleriano que inicia y termina en el mismo vértice. Para que exista todos los vertices del grafo deben ser pares,

Por lo que estuve viendo de teoria de grafos encontre las siguientes definiciones
Cadena: a toda sucesion finita y alterna de vertices y aristas
Camino: a toda cadena en la que no se repiten ni vertices ni aristas
De aqui se desprende que no existe camino euleriano ya que contradice la definicion de camino anterior.
Por lo tanto lo correcto seria Cadena Euleriana, de esta forma si podemos recorrer todo el grafo pasando por todas sus aristas (lo que implica repetir vertices)

La condición de los caminos Eulerianos, se refiere a poder pasar toda la gráfica, sin repetir caminos y ni alzar el lápiz. Luego el ciclo, cumple con la misma condición, sin embargo, Vi=Vf, osea que solo podemos terminar por dónde hemos terminado, pero sin repetir caminos.

Resumiendo lo anterior
Sea G un grafo conexo entonces
…
G es euleriano, es decir tiene ciclo euleriano, si solo si todos sus vertices tienen grado par
…
G tiene cadena euleriana no cerrada si y solo si G tiene exactamente dos vertices de grado impar (que seran los extremos de la cadena)

• Para que exista un camino euleriano deben existir no más de dos vértices con grado impar. Se debe iniciar y terminar en los vértices de grado impar.
  Para que exista un ciclo euleriano , todos los vértices deben ser par.

para un CICLO EULERIANO, todos los vértices deben SER PARES.

Excelente explicación.

Camino Euleriano: No mas de dos vértices con grado impar. Puedo repetir vértice pero no arista.

Ciclo Euclidiano: Todos los vertices de grado par. Inicio y termino en el mismo vértice sin repetir aristas.

Teorema de Euler:
a. Si un grafo conexo tiene más de dos nodos con grado impar, no existe un camino simple de Euler.

b. Si existen exactamente dos vértices de grado impar, el grafo se puede recorrer, pero el camino ha de empezar en uno de los dos vértices de grado impar y terminar en el otro.

c. Si no existen vértices de grado impar, el grafo se puede recorrer. El camino siempre será cerrado.

Hay camino euleriano, cuando hay dos y solo dos vértices impar; si hay mas de dos NO HAY CAMINO EULERIANO.

Creo que el concepto es Cadena Euleriana, pues esta permite repetir aunque sea los vértices (nodos). En el camino no se deben repetir ni las aristas (conexiones) ni los vértices (nodos).

Looos caminos de la vidaa 🎶 no son como yo pensaaaba 🎵

Condición para cumplir con un camino o ciclo euleriano

Sea G un grafo conexo.
Camino euleriano:

• Es aquel camino que recorre todo el grafo (aristas y vértices) sin repetir aristas.

• Esto se cumplirá si tiene exactamente dos nodos de grado impar (conexos a los caminos) además debe empezar y terminar en esos vértices.

Ciclo euleriano:

• Es aquel ciclo que recorre todo el grafo sin repetir una conexión,

• Se cumplirá que G tiene un ciclo euleriano si y solo si todos los vértices del grafo son grado par

• Si un grafo G admite un ciclo euleriano, entonces G es grafo euleriano.

Creo que te equivocaste en decir que no repite vértice y es conexión, eso genera confusión.

camino : sucesion de vertices o conexiones sin pasar dos veces por el mismo nodo (vertice)
ciclo: inicia y termina en el mismo nodo
camino euleriano: no mas de dos nodos con grado impar, inicia y termina en estos nodos respectivamente
ciclo euleriano: todos los vertices deben tener grado par

Tremenda explicación

Algunas correcciones.

1. Cuando se habla de Camino Euleriano, se “permite” repetir vértices ya que esta condición aplica para Caminos Simples (no repiten ni vértice ni arista). Los camino Eulerianos son un tipo de camino que no son simples, pero que sí cumplen con que no recorren más de una vez las aristas.
2. Un camino Euleriano debe contener exactamente 2 vértices con grado impar. En la clase se dice “No más de dos” y es cierto, pero esto incluiría el caso de tener un (1) vértice impar, y en ese caso no sería un camino Euleriano. Deben ser exactamente 2.

Este es el teorema:
Sea G un grafo o multigrafo no dirigido. Entonces G tiene un camino de Euler si, y solo si, es conexo y tiene solo dos vértices de grado impar. Diremos que el grafo es semi-Euleriano.

Además de los grafos eulerianos, también existen los grafos semieulerianos, que cumplen una condición ligeramente diferente. Un grafo es semieuleriano si tiene exactamente dos vértices de grado impar y el resto de los vértices tienen grado par. En un grafo semieuleriano, es posible encontrar un camino euleriano que comienza en uno de los vértices de grado impar y termina en el otro vértice de grado impar, pero no es posible encontrar un ciclo euleriano.

Alfin encontramos el nodo G amigos

Caminos y ciclos eulerianos.: Recorre todo el grafo sin repetir una conexión

Deberia haber un video explicando la importancia de Euler para los grafos

• En la teoría de grafos, un camino euleriano es un camino que pasa por cada arista una y solo una vez. Un ciclo o circuito euleriano es un camino cerrado que recorre cada arista exactamente una vez, empieza y termina en el mismo vértice.

• Un grafo admite un camino euleriano cuando tiene exactamente no más de dos nodos de grado impar (conexos a los caminos).

• Un grafo admite un ciclo euleriano cuando tiene todos sus nodos de grado para.