Ángulo exacto entre dos vectores con producto punto

Aprende a calcular el ángulo exacto entre dos vectores usando el producto punto y la norma. Esta guía te muestra cómo la función coseno conecta la alineación entre vectores con casos claros de 0°, 90° y 180°, y aplica la fórmula paso a paso con un ejemplo práctico de fuerzas.

¿Cómo se relaciona el producto punto con el ángulo?

La clave está en la fórmula: u · v = ||u|| · ||v|| · cos θ. El producto punto mide cuánta alineación hay entre dos vectores mediante el coseno del ángulo.

• Vectores alineados (0°): cos θ = 1, máxima alineación.
• Vectores perpendiculares (90°): cos θ = 0, ninguna alineación.
• Vectores opuestos (180°): cos θ = −1, máxima oposición.

Con esta base, puedes pasar de longitudes y producto punto al ángulo entre vectores.

¿Cómo calcular el ángulo exacto entre vectores?

Para encontrar θ a partir de cantidades conocidas:

• Despeja el coseno: cos θ = (u · v) / (||u|| · ||v||).
• Luego, calcula el ángulo con arco seno usando calculadora científica.
• Usa datos que ya dominas: producto punto y normas.

Habilidades que pondrás en práctica:

• Calcular producto punto en R².
• Hallar norma con raíz cuadrada de sumas de cuadrados.
• Despejar y sustituir en fórmulas.
• Interpretar coseno como medida de alineación.
• Usar calculadora científica para funciones trigonométricas.

¿Cómo aplicarlo paso a paso con fuerzas F1 y F2?

Ejemplo: dos personas empujan una caja con F1 = (3, 1) y F2 = (1, 2).

1) Producto punto: F1 · F2 = 3·1 + 1·2 = 5. 2) Norma de F1: ||F1|| = √(3² + 1²) = √10. 3) Norma de F2: ||F2|| = √(1² + 2²) = √5. 4) Sustitución: cos θ = 5 / (√10 · √5) = 5 / √50 ≈ 0.707. 5) Con calculadora: arco seno(0.707) ≈ 45°.

Interpretación en contexto: un ángulo de 45° sugiere que ambas fuerzas colaboran en una dirección general similar, aunque no perfectamente alineadas. Además, una verificación gráfica muestra que al forzar una componente a cero en cada vector se obtiene 90°, por lo que el ángulo original resulta ser la mitad: 45°.

¿Qué ejercicio práctico puedes resolver ahora?

Velocidades de dos coches:

• Coche A: vector (80, 0), interpreta: 80 km/h al este.
• Coche B: vector (60, 60), interpreta: 60 km/h al este y 60 km/h al norte.

Calcula el ángulo exacto entre estos dos vectores usando el mismo procedimiento: producto punto, normas y función trigonométrica. Comparte tu proceso y resultado en los comentarios: ¿qué te dice el ángulo sobre su alineación y la dirección del movimiento relativo?