Suma y resta de matrices elemento por elemento

Si ya entiendes la suma de vectores, estás listo para dominar la suma y resta de matrices. Aquí verás cómo operar elemento por elemento, interpretar resultados en escenarios reales como ventas y finanzas, y aplicar multiplicación por escalar para ajustes globales. También repasamos propiedades clave: conmutativa, asociativa y distributiva.

¿Cómo se suman y restan matrices elemento por elemento?

La regla es directa: para sumar o restar matrices deben tener las mismas dimensiones m por n y se opera posición con posición.

• Mismo tamaño: filas y columnas compatibles.
• Operación local: cada entrada se combina con su homóloga.
• Resultado: una matriz del mismo tamaño.

Ejemplo de suma con ventas por tienda y mes.

• matriz A representa la primera tienda: 10, 8, 5, 12.
• matriz B representa la segunda tienda: 7, 6, 9, 10.
• suma A + B elemento por elemento: 10 + 7 = 17, 8 + 6 = 14, 5 + 9 = 14, 12 + 10 = 22.

Interpretación práctica.

• columnas: enero y febrero.
• filas: producto 1 y producto 2.
• ejemplo de lectura: en enero, producto 1 suma 17 unidades o 17 mil dólares según la escala elegida.

La resta de matrices funciona igual, pero restando cada elemento en su posición correspondiente.

¿Cómo aplicar matrices a ventas y a ganancia neta?

Una matriz puede resumir periodos y productos de forma clara y consistente. Así, leer cada entrada es inmediato y comparar tiendas o meses es natural.

¿Cómo calcular ganancia neta con costos e ingresos?

La ganancia neta se obtiene con una resta elemento por elemento: ingresos menos costos.

• matriz de costos C: para dos meses y dos productos, valores 10, 20, 30, 20.
• matriz de ingresos G: valores 100, 150, 80, 50.
• ganancia neta G − C: 100 − 10 = 90, 80 − 30 = 50, 150 − 20 = 130, 50 − 20 = 30.

Lectura del resultado.

• cada número es la utilidad del producto en el mes correspondiente.
• concepto clave: ganancia neta = ingresos − costos.

¿Qué es la multiplicación por escalar y qué propiedades importan?

Multiplicar una matriz por un escalar aplica un ajuste uniforme a todas sus entradas: se multiplica cada elemento por el número dado.

Ejemplo con descuento del 20 %.

• escalar alfa = 0.8 (100 % − 20 %).
• matriz de precios P: 10, 20, 30, 50.
• resultado alfa · P: 8, 16, 24, 40.
• interpretación: precios con un descuento global del 20 %.

Aplicación visual.

• en diseño gráfico, para duplicar el tamaño de un objeto 2D, se multiplica su matriz de puntos por 2.

Propiedades fundamentales de estas operaciones.

• suma conmutativa: A + B = B + A.
• suma asociativa: (A + B) + C = A + (B + C).
• resta no conmutativa: A − B ≠ B − A, el orden sí importa.
• distributiva del escalar sobre suma y resta: k(A ± B) = kA ± kB.

Práctica guiada.

• matriz A de tamaño 2 × 3 con valores: 1, 3, 5, 2, 0, 2.
• matriz B de tamaño 2 × 3 con valores: 3, 2, 1, 0, 0, 2.
• tareas: calcula A + B, A − B y 3A + 2B.

Bonus de motivación.

• idea a tener en mente: una matriz también puede actuar como función que toma un vector y lo transforma, por ejemplo, rotándolo, estirándolo o moviéndolo en el espacio.

¿Ya resolviste el ejercicio? Comparte tus resultados y dudas en los comentarios: será un buen punto de partida para la próxima sesión.