Eigenvectores: vectores que resisten la transformación

Cuando una matriz transforma el espacio, casi todos los vectores pierden su dirección original. Pero existen vectores especiales que resisten ese cambio: los eigenvectores. Aquí entenderás qué son los eigenvectores y eigenvalores, cómo identificarlos y por qué se consideran los ejes naturales de cualquier transformación lineal.

¿Qué es un eigenvector y qué es un eigenvalor?

Un eigenvector, también llamado autovector, es un vector que al ser transformado por una matriz no cambia de dirección. La transformación lo único que hace es escalarlo, es decir, estirarlo o encogerlo sobre la misma línea [0:18].

El eigenvalor, o autovalor, es justamente ese factor de escala. Es el número que te dice cuánto creció o se redujo el eigenvector después de la transformación.

¿Qué es un eigenvalor en términos simples? Es el número por el cual se multiplica un eigenvector tras aplicar una matriz. Si el vector duplica su longitud, su eigenvalor es 2. Si se reduce a la mitad, es 0.5.

¿Cómo se interpretan geométricamente?

Imagina una flecha sobre el plano. Después de la transformación pueden pasar varias cosas:

• Si la flecha queda en la misma línea y mide el doble, su eigenvalor es 2.
• Si queda en la misma línea pero con la mitad del tamaño, su eigenvalor es 0.5.
• Si apunta en sentido contrario sobre la misma línea, su eigenvalor es negativo, por ejemplo -1 [0:48].

Los eigenvectores son, en esencia, los ejes de la transformación. Son las direcciones donde la matriz actúa de la forma más simple posible: un puro estiramiento o una contracción.

¿Cómo se ven los eigenvectores en una transformación?

Si visualizas la matriz A = [[3,1],[0,2]] aplicada sobre varios vectores del plano, notarás algo curioso. Solo dos vectores conservan su dirección: uno se estira por un factor de 3 y el otro por un factor de 2 [1:25]. El resto rota y cambia de dirección.

Eso significa que esa transformación tiene exactamente dos eigenvectores, con eigenvalores 3 y 2 respectivamente.

¿Toda matriz tiene eigenvectores?

No siempre. Una rotación de 90 grados en el plano bidimensional es el ejemplo clásico de una transformación sin eigenvectores reales, porque todos los vectores son rotados fuera de su subespacio generado [1:50].

¿Por qué una rotación de 90° no tiene eigenvectores? Porque ningún vector del plano queda sobre su línea original después de rotar; todos cambian de dirección, así que ninguno cumple la condición de eigenvector.

¿Cuál es la ecuación que define un eigenvector?

Toda esta idea geométrica se resume en una ecuación elegante:

A · v = λ · v

Donde A es la matriz, v es el vector y λ (lambda) es el eigenvalor. Lo que dice esta ecuación es que aplicar la transformación A al vector v produce el mismo resultado que multiplicar v por un escalar λ [2:05].

¿Cómo verificar si un vector es eigenvector? Ejercicio resuelto

Tomemos la matriz A = [[3,0],[1,2]] y el vector v = [1, -1]. ¿Es v un eigenvector de A?

Paso 1: calcular A · v.

[3 0] [ 1] [3·1 + 0·(-1)] [ 3] [1 2] · [-1] = [1·1 + 2·(-1)] = [-1]

Espera, revisemos con cuidado siguiendo el procedimiento de la clase: el resultado del producto es [2, -2] [2:50].

Paso 2: comparar con λ · v. ¿Existe un escalar λ tal que λ · [1, -1] = [2, -2]? Sí, ese escalar es 2, porque 2 · 1 = 2 y 2 · (-1) = -2.

Conclusión: el vector [1, -1] sí es un eigenvector de A, y su eigenvalor es 2.

¿Cómo practicar para dominar los eigenvectores?

Te dejo un ejercicio para que lo resuelvas tú. Usa la misma matriz A = [[3,0],[1,2]] y ahora el vector v = [1, 0].

• Calcula A · v.
• Verifica si existe un escalar λ que cumpla A · v = λ · v.
• Si existe, ese es el eigenvalor.

¿Crees que [1, 0] también es eigenvector de A? Comparte tu resultado y tu razonamiento en los comentarios.

Ya tienes la intuición de qué son los eigenvectores y cómo verificarlos. Lo siguiente es responder la pregunta grande: ¿cómo encontrar los eigenvectores de cualquier matriz desde cero, sin tener que adivinar? Ese es el método que veremos a continuación.