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Norma de un vector con Pitágoras
La norma de un vector es el escalar que indica su longitud y completa la descripción de cualquier vector en álgebra lineal. Si ya sabes calcular el producto punto, entender la norma te permite saber qué tan grande es un vector, no solo hacia dónde apunta. Es útil para estudiantes de matemáticas, ciencia de datos y física que necesitan medir distancias, fuerzas o magnitudes en cualquier dimensión.
¿Qué es la norma de un vector y por qué importa?
La norma es la regla con la que medimos el espacio. Es un número que nos dice qué tan largo es un vector, sin importar la dirección a la que apunte [0:25].
La más usada es la norma L2 o euclidiana, que mide la distancia en línea recta desde el origen hasta el punto del vector. Aparece en todas partes: en GPS te da la distancia directa entre dos ciudades, en física describe la intensidad de una fuerza, y en diseño gráfico define las dimensiones y escalas de los objetos [0:45].
¿Qué es la norma de un vector? Es un escalar que representa la longitud del vector. Para la norma L2, se calcula como la raíz cuadrada de la suma de sus componentes elevados al cuadrado.
¿Cómo se calcula la norma con el teorema de Pitágoras?
Aquí entra una herramienta que probablemente ya conoces. Para un vector en dos dimensiones, sus componentes forman los catetos de un triángulo rectángulo y la norma es la hipotenusa [1:20].
La fórmula se escribe con dobles barras alrededor del vector:
$$|V| = \sqrt{x^2 + y^2}$$
Para el vector V = (3, 4):
La norma de V es 5, y se ve clarísimo en el plano: la flecha del vector forma la hipotenusa del triángulo que tiene catetos de 3 y 4 [2:05].
¿Funciona en más dimensiones?
Sí, y aquí está lo interesante: la idea se extiende a cualquier dimensión. Para un vector en tres dimensiones, sumas los tres componentes al cuadrado y sacas raíz. Para N dimensiones, sumas los N componentes al cuadrado [2:45].
¿Cuáles son las propiedades de la norma?
La norma tiene tres propiedades que te conviene tener presentes [3:00]:
La última propiedad tiene una analogía bonita: la suma de vectores es la ruta directa al destino, mientras que sumar las normas por separado es como hacer escalas. La ruta directa siempre será más corta o igual [3:45].
¿Cómo aplicar la norma con un ejercicio práctico?
Tomemos el vector W = (6, -8) y calculemos su norma [4:15]:
La norma de W es 10. Sencillo.
¿Qué es un vector unitario y cómo se obtiene?
Un vector unitario es un vector cuya norma es exactamente uno. Representa una dirección pura, sin el ruido de la magnitud. Cuando solo te importa hacia dónde apunta algo y no qué tan fuerte o largo es, usas un vector unitario [5:20].
De hecho, los vectores base i y j sombrerito que construyen los sistemas de coordenadas son vectores unitarios.
El proceso para convertir cualquier vector en su versión unitaria se llama normalización, y consiste en dividir el vector por su propia norma [5:50]:
$$\hat{W} = \frac{1}{|W|} \cdot W$$
Para nuestro W = (6, -8) con norma 10:
Si calculas la norma de este nuevo vector, te dará uno. Pruébalo.
¿Qué es la normalización de un vector? Es dividir un vector entre su norma para obtener un vector unitario que conserva la dirección original pero tiene longitud uno.
¿Qué otras normas existen además de la L2?
La L2 es la más usada, pero hay otras formas de medir longitud que aparecen en distintos contextos [6:30]:
Cada una responde una pregunta distinta sobre el vector, y elegir la adecuada depende del problema que estés resolviendo.
¿Qué norma crees que usarías para medir la dispersión de datos en un modelo de machine learning? Déjalo en los comentarios.
Daniela Estupiñan
Estudiante
Daniel Erazo
Profesor
Juan Diego
Estudiante
Ariel Ezequiel Biazzo Genua
Estudiante
Gabriel Obregón
Estudiante
Kenneth Angulo L
EstudianteDaniel Erazo
Profesor
Germán Illanes Salas
Estudiante
Pablo Mederos
EstudianteAriel Ezequiel Biazzo Genua
Estudiante
Jhon Freddy Tavera Blandon
EstudianteDaniel Erazo
ProfesorMuy chevere la clase, muy fácil de entender como hacer los cálculos.
Me alegra mucho que te estén gustando las clases! 😊
Que otros tipos de distancia se manejan aparte de la euclidiana?
¡Qué buena pregunta, Juan! La norma euclidiana (L2) es como el vuelo de un pájaro: línea recta, sin obstáculos. Pero el mundo real rara vez es tan amable.
Cuando no puedes atravesar edificios, usas la norma L1 (o distancia Manhattan). Imagina que estás en una ciudad cuadriculada: sumas tus pasos hacia el norte y hacia el este, sin atajos diagonales. Es la suma de los valores absolutos de los componentes.
Luego está la norma infinito, que es el "pesimista" del grupo: solo le importa el componente más grande. Si un vector representa el error en un sistema, esta norma te dice cuál es el peor error posible, ignorando el resto.
Y la norma L0, que en realidad cuenta cuántos elementos no son cero. Es la medida de la "escasez".
¿En qué tipo de problema crees que sería mejor medir el "peor caso" en lugar del promedio o la distancia total?
Espectacular, tengo un libro de los pitagoricos y explican como las normas ayudan incluso a la policia a determinar el radio donde posiblemente este un criminal.
📘 NORMA DE UN VECTOR
📐 ¿QUÉ ES LA NORMA?
🔹 Es un número real 🔹 Indica la longitud de un vector 🔹 La más usada: norma L2 (euclidiana)
📍 Mide la distancia en línea recta desde el origen hasta el vector.
⭐ ¿POR QUÉ IMPORTA?
✔ GPS y navegación → distancia ✔ Física → intensidad de fuerzas ✔ Diseño gráfico → escalas
➡ Un vector necesita:
· 🧭 dirección
· 📏 longitud (norma)
📏 NORMA L2 (EUCLIDIANA)
🧠 Idea clave Se basa en el teorema de Pitágoras.
· 📌 En 2D → triángulo rectángulo
· 📌 En 3D o nD → misma idea, más componentes
✏️ EJEMPLO EN 2D
🔢 Vector: u = (3, 4)
🧮 Cálculo: raíz de (3² + 4²) = raíz de (9 + 16) = raíz de 25 = 5
📐 Interpretación: ➡ La hipotenusa es la longitud del vector ➡ Norma = 5
✅ PROPIEDADES DE LA NORMA L2
🔸 No negatividad 📍 La norma siempre es ≥ 0
🔸 Homogeneidad absoluta 📍 Norma de α·v = |α| por norma de v ➕ Escalar grande → vector más largo ➖ Fracción → vector más corto
🔸 Desigualdad triangular 📍 Norma de (u + v) ≤ norma(u) + norma(v) 🚶♂️ Ir directo es más corto que dar rodeos
🌐 NORMA EN MÁS DIMENSIONES
📦 3D ➡ raíz de (x² + y² + z²)
📦 nD ➡ raíz de la suma de todos los componentes al cuadrado
💡 Siempre igual:
· sumar aportes
· medir distancia total
🧭 VECTORES UNITARIOS
⭐ Vector unitario ➡ Norma = 1 ➡ Representa solo dirección
🔄 Normalización 📍 Divide el vector entre su propia norma
📊 OTRAS NORMAS IMPORTANTES
🟦 Norma L1 (Manhattan) ➡ Suma de valores absolutos ➡ Calles en cuadrícula (sin diagonales)
🟨 Norma L0 ➡ Cuenta componentes ≠ 0 ➡ Mide esparsidad
🟥 Norma L∞ (máximo) ➡ Toma el valor absoluto más grande ➡ Importa el peor caso
Super !! Los calculos del profe, me recordaron vagamente operaciones para calcular impedancia en un circuito. 😱
Como dijo al principio de la clase, (AL) esta en todo !
Así es, el AL está en todas partes!
Dado que según Pitágoras ||v|| = √(x² + y² + n²) nos devuelve la norma L2, podemos decir que que la magnitud o norma es también la raíz cuadrada del producto punto de un vector consigo mismo.
De hecho si, tiene mucho sentido lo que dices. Voy a investigar de donde salen los cuadrados en cada componente del vector.
Hola, ¡exactamente! Obtendrás el mismo resultado.
La diferencia es que con Gauss-Jordan continúas operando la matriz para hacer ceros también por encima de los pivotes. Esto te entrega el valor de las incógnitas directamente en la matriz final, ahorrándote el paso de hacer la sustitución hacia atrás manualmente.
