Contenido del curso
Qué hace un vector redundante en álgebra lineal
La independencia lineal es la herramienta matemática que te permite saber cuándo un vector es realmente necesario dentro de un conjunto o cuándo está repitiendo una dirección que ya tenías. Si te interesa el álgebra lineal aplicada a programación, gráficos o machine learning, este concepto es la base para entender espacios vectoriales, ortogonalidad y proyecciones.
¿Qué significa que un conjunto de vectores sea linealmente independiente?
Un conjunto de vectores es linealmente independiente cuando ninguno de ellos puede escribirse como combinación lineal de los demás. Piénsalo como un set de construcción ideal: cada pieza es esencial y aporta una dirección que las otras no pueden generar.
Si quitas cualquier vector del conjunto, el span (el espacio que generan) se hace más pequeño. Esa es la prueba intuitiva de que ese vector no era redundante.
¿Qué es la independencia lineal en pocas palabras? Es la propiedad de un conjunto de vectores en la que ninguno se puede construir combinando a los otros. Cada vector aporta una dirección nueva al espacio.
¿Por qué los vectores base i y j son linealmente independientes?
El ejemplo perfecto en R² son los vectores base i sombrerito y j sombrerito [01:00]. El vector i tiene coordenadas (1, 0) y el vector j tiene coordenadas (0, 1).
Y aquí viene lo interesante: por más que multipliques i por cualquier escalar, nunca lo vas a mover en el eje Y. Y por más que escales j, jamás se desplazará en el eje X. Cada uno controla una dimensión que el otro no puede tocar.
Por eso son los bloques de construcción más eficientes de un plano bidimensional: cero redundancia, dos dimensiones completamente diferentes bajo control.
¿Cuándo un conjunto de vectores es linealmente dependiente?
Un conjunto es linealmente dependiente si al menos uno de los vectores puede construirse como combinación lineal de los otros. Ese vector es redundante: no añade ninguna dirección nueva.
Veamos el ejemplo del transcript [02:00]. Tienes:
Al resolver la combinación: 2u = (2, 4) y al sumarle v = (3, 1) obtienes w = (5, 5).
Si graficas estos tres vectores, se forma un paralelogramo, igual que en la suma de vectores con el método del paralelogramo. La conclusión es directa: w vive en el espacio generado por u y v, así que el conjunto es linealmente dependiente.
¿Cómo identificar dependencia lineal entre dos vectores?
Tomemos u = (2, 1) y v = (-1, 1) [04:00]. La pregunta clave es: ¿existe un escalar c tal que c · v = u?
Si pruebas con c = 2, obtienes (-2, 2), que no es igual a (2, 1). Ningún escalar funciona. Por lo tanto, {u, v} es linealmente independiente.
Ahora agrega un tercer vector: w = (1, 2). A simple vista parece que los tres podrían ser independientes, pero suma u + v:
Ese resultado es exactamente w. Entonces w se puede construir con u y v, y el conjunto {u, v, w} no es linealmente independiente.
¿Cómo sé si un vector es redundante? Intenta escribirlo como suma de múltiplos de los otros vectores del conjunto. Si encuentras una combinación que lo reproduzca, ese vector es redundante.
¿Cómo aplicar la independencia lineal en un ejercicio práctico?
Del transcript queda un reto para que practiques [06:00]. Considera este conjunto en R²:
Piensa: ¿puedes escribir w como combinación de u y v? Si la respuesta es sí, el conjunto es linealmente dependiente. Si no, es independiente.
La intuición que vimos antes con i y j te va a servir aquí. Comparte tu resultado en los comentarios y explica el razonamiento que seguiste.
¿Qué sigue después de entender la independencia lineal?
Ya sabes identificar si tus vectores son independientes, pero queda una pregunta abierta: ¿cómo medimos la relación entre ellos? ¿Cómo sabes si están casi alineados o si apuntan a direcciones completamente distintas?
Para eso necesitas una nueva operación: el producto punto. Es la herramienta que conecta la independencia lineal con conceptos como la ortogonalidad y las proyecciones, y es justo lo que viene en la siguiente clase.
Guido Miranda
Estudiante
Federico Martinez
Estudiante
Josué Merino
Estudiante
Daniela Estupiñan
Estudiante
Daniel Erazo
Profesor
Jhon Freddy Tavera Blandon
Estudiante
Julio Burbano
EstudianteDaniel Erazo
Profesor
Jorge Calle
EstudianteJosué Merino
Estudiante
Ariel Ezequiel Biazzo Genua
Estudiante
Camilo Alejandro Quiroz Castellanos
EstudianteCamilo Alejandro Quiroz Castellanos
Estudiante
Ruben Jordan
EstudianteRuben Jordan
Estudiante
Dario vallejo
Estudiante
Enrique Núñez Céspedes
EstudianteGuido Miranda
EstudianteGuido Miranda
Estudiante
Miguel Angel Moreno C.
EstudianteDario vallejo
Estudiante
Christian Aldemar Rodríguez Ayala
Estudiante
Pablo Joaquín Cruz
EstudianteDaniel Erazo
ProfesorFelipe Granda
EstudianteDaniel Erazo
Profesor
Carlos David Rojas Montaño
Estudiante
Kevin Alvarez
EstudianteDaniel Erazo
Profesor
Oscar Ramirez
EstudianteDaniel Erazo
ProfesorDebes eliminar vectores de tu modelo en el momento en que detectes que pueden expresarse como una combinación lineal de los demás. En el mundo real, esto ocurre frecuentemente durante la fase de limpieza de datos o Feature Engineering. Por ejemplo, si estás prediciendo el precio de una casa y tienes un vector para el área en metros cuadrados, otro para el área en pies cuadrados y un tercero para el área total, dos de ellos son completamente redundantes. Mantenerlos causaría un problema conocido como multicolinealidad, el cual confunde a los modelos predictivos porque no pueden determinar qué variable está impactando realmente el resultado. Al aplicar técnicas de álgebra lineal para encontrar y eliminar estas dependencias, logras reducir la dimensionalidad de tu problema. Esto no solo acelera el tiempo de entrenamiento de tus algoritmos, sino que también hace que tus predicciones sean mucho más robustas y fáciles de interpretar.
Hermoso comentario
Me encanta el comentario; literal, me has ayudado a ver cómo esta clase sirve para algo tan complejo como el entrenamiento en ML.
W es combinación lineal de u y v
W = 2u + 2v
Excelente gráfico! Sigue así 😊
Intuición
Excelente trabajo!
Si, los vectores U y V son linealmente dependientes, ya que su suma doble da el resultado de W.
En el ejercicio los vectores u y v son linearmente independientes, w es dependiente.
Esto es porque w es la combinación lineal de u y v
Mi manera de entender la teoria para saber si un vector es linealmente dependiente. ( Razone y busque mis huecos mentales con gemini 3.1 think)
Refinando tus 3 Bases
Una direccion en el campo vectorial es lo mismo a una dimensión del vector?
Es decir que el conjunto base que es linealmente independiente para R3 seria
i=[1,0,0] j=[0,1,0] z=[0,0,1]
¡Exacto, Camilo Alejandro! Has dado en el clavo.
Esos tres vectores son la base canónica de $\mathbb{R}^3$. Son el estándar de oro porque son el ejemplo más limpio de independencia lineal: cada uno es "puro" en su dimensión y no tiene ni una pizca de los otros.
Si intentas construir el vector $z$ usando solo $i$ y $j$, simplemente no puedes. No importa cuánto los estires o los sumes, siempre te quedarás atrapado en el plano $xy$. El vector $z$ es el único que te da la "libertad" de salirte de ahí y explorar la tercera dimensión.
Ahora, piensa en esto: ¿qué pasaría si a ese conjunto le agregaras un cuarto vector, digamos $v = [1, 1, 1]$? ¿Seguiría siendo una base? ¿Por qué?
Tengo una duda con respecto a lo que hemos visto en las clases, sobretodo en la clase de combinaciones lineales y son: 1.) ¿Si tengo dos vectores con direcciones diferentes puedo interpretarlas como vectores indepecndientes? 2.) ¿Los vectores que tienen la misma direccion son en si siempre vectores dependientes? 3.) ¿todos los vectores son dependientes de los vectores base i sobrerito y j sombrerito?
¡Qué buenas preguntas, Ruben! Estás tocando la fibra central de la independencia lineal. Vamos a desarmarlas una por una, directo al grano:
¿Dos vectores con direcciones diferentes son independientes? Sí. Si no son paralelos, ninguno puede ser un "múltiplo" del otro. Cada uno está aportando una dimensión nueva que el otro no alcanza a cubrir. En el plano, si no están en la misma línea, son independientes.
¿Los vectores con la misma dirección son siempre dependientes? Exacto. Si tienen la misma dirección (o son opuestos), uno es simplemente una versión estirada o encogida del otro. Son "redundantes" porque no añaden nada nuevo al espacio; solo estás recorriendo el mismo camino.
¿Todos los vectores son dependientes de $i$ y $j$? ¡No! Son dependientes de ellos en el sentido de que puedes construirlos usando $i$ y $j$, pero eso no los hace dependientes de ellos. La independencia es una relación mutua: para que un conjunto sea dependiente, uno debe poder "hacerse" con los otros. Como $i$ y $j$ cubren todo el plano, cualquier vector en $R^2$ es una combinación lineal de ellos, pero eso solo significa que $i$ y $j$ son una base.
¿Ves la diferencia entre "ser una base" y "ser dependientes"? ¿Qué crees que pasaría si intentaras añadir un tercer vector a ese conjunto de $i$ y $j$?
bueno creo que me hice malinterpretar con la tercera pregunta asi que la reformulo. todo vector en un espacio bidimensional es de por si dependiente de los vectores $i$ y $j$, dado a que cualquier vector v se puede representar de la forma v=ai+bj. Si fuece tridimensional se podria interpretar con v=ai+bj+c*k y etc.
¡Ahora te entiendo perfecto, Ruben! Te refieres a la dependencia como el hecho de poder construir un vector a partir de otros.
Estás en lo correcto: cualquier vector en $R^2$ es una combinación lineal de $i$ y $j$. Por eso decimos que el conjunto ${i, j}$ genera (o es base de) todo el espacio.
Pero cuidado con el lenguaje: en matemáticas, cuando decimos que un conjunto de vectores es "linealmente dependiente", estamos diciendo que hay redundancia en el grupo.
Si tienes ${i, j, v}$, ese conjunto es dependiente porque $v$ ya estaba "contenido" en lo que $i$ y $j$ podían hacer. Pero $i$ y $j$ por sí solos son independientes porque ninguno puede crear al otro.
Cuando hay tres vectores siempre hay dependencia?
No siempre. Un conjunto de tres vectores es linealmente dependiente si uno de ellos puede expresarse como una combinación lineal de los otros dos.
Por ejemplo, si tienes U = [2, 1], V = [-1, 1] y W = [1, 2], W es la suma de U y V. Por lo tanto, este conjunto de tres vectores es linealmente dependiente. Sin embargo, si los vectores no pueden formarse a partir de los otros, el conjunto es linealmente independiente.
Siempre existe dependencia lineal en el momento en que la cantidad de vectores excede el número de dimensiones donde están existiendo. Esto es:
- En R^1 puede existir como máximo 1 vector independiente
- En R^2 pueden existir como máximo 2 vectores independientes
- En R^3 pueden existir como máximo 3 vectores independientes
En general, en R^n solo existen hasta n vectores independientes, cuando existen n+1 entonces siempre existe dependencia lineal
¿Puedo usar esto para crear gráficos 3D?
¡Absolutamente! Las combinaciones lineales son el motor principal detrás de cualquier motor gráfico moderno. Cuando mueves un personaje en un mundo tridimensional, el software está calculando constantemente combinaciones lineales de tres vectores base, usualmente llamados x, y y z. Si quieres que tu personaje salte en diagonal mientras corre, el motor gráfico toma el vector de movimiento hacia adelante, lo escala según la velocidad del jugador, toma el vector de salto hacia arriba, lo escala según la fuerza del salto, y suma ambos. El resultado es un nuevo vector que define la trayectoria exacta del personaje en el espacio 3D. Sin esta operación matemática, la animación en los videojuegos sería imposible.
¿Dónde encaja esto en la programación visual?
Encaja directamente en la manipulación de colores, luces y posiciones en la pantalla. Como ocurre con el modelo RGB, cada color es un vector. Si estás diseñando un filtro fotográfico o programando shaders, estás manipulando combinaciones lineales. Por ejemplo, si quieres hacer que una imagen se vea más cálida, puedes programar un algoritmo que aumente el escalar del vector rojo y disminuya el escalar del vector azul para cada píxel. Además, cuando haces zoom o rotas un elemento en una interfaz de usuario, el navegador está aplicando transformaciones que dependen de escalar y sumar los vectores que definen las esquinas de ese elemento. Es la base matemática del diseño digital dinámico.
según entiendo si hay mas de dos vectores el conjunto siempre será dependiente claramente hablando en un espacio r2
no siempre, solo si uno de los vectores es el resultante de la combinación de los otros dos
u = [1,0]
v = [0,1]
w = [2,2]
Prueba
2u+2v = 2[1,0] +2[0,1] = [2,0] + [0,2] = [2,2]
Resultado
{u,v,w} no son linealmente independientes
Según entiendo, si estamos en R2 y un conjunto con al menos tres vectores, siempre va a ser linealmente dependiente, porque en la clase anterior dijiste que si dos vectores apuntan a diferentes direcciones se puede formar cualquier otro vector. ¿Qué pasa entonces si no apuntan a direcciones diferentes? Entonces la independencia lineal se pierde entre ellos dos simplemente.
¡Tienes toda la razón! Tu intuición es correcta. Te lo confirmo punto por punto:
Sería genial que las universidades incluyeran estos cursos tan bien explicados para complementar las clases sincrónicas, en mi caso, tomé álgebra lineal y la complementaba con YouTube antes de pagar Platzi. Se notaba un montón la diferencia de mi curva de aprendizaje con la de mis compañeros que estaban perdidos jajaja, incluso no sé cómo pasaron el semestre, pero llegan al siguiente igual de perdidos.
Hola, tienes toda la razón, me pasó lo mismo en la universidad cuando tomé esta materia por primera vez, tienes que sí o sí ver recursos externos y encontrarle el sentido de aplicación al Álgebra Lineal, sino siempre será una materia difícil y abstracta para nosotros.
No es linealmente independiente, u y v son los vectores unitarios i y j, con estos cubrimos todo r2, entonces no, ningun otro vector es linealmente independiente cuando se tiene la combinacion i y j en el conjunto de vectores.
Ejercicio
u = u = [1,0]
v = [0,1]
w = [2,2]
---------------------------------
W es dependiente del escalar "2u + 2v"
2[1,0] + 2[0,1] [2,0] + [2,1] [2,2]
Muy bien, todo es correcto!
Para el ejercicio
u = [1,0]
v = [0,1]
w = [2,2]
2u + 2v = [2,2] = w donde es Linealmente dependiente.
Esto me hace entender que entre mas vectores agrego a una dimensión aumenta la probabilidad de dependencia lineal o redundancia, lo que podría traducir a menor aporte porque no hay direcciones nuevas o dicho de otro modo se repite información que ya se puede obtener con u y v.
Investigando pude validar que podría estar en la dirección correcta pues la independencia esta relacionada con información única.
Definitivamente estaba subestimando este concepto 🫣.
Hola! Es una gran conclusión a la que llegaste, aquí tienes dos puntos clave para consolidar ese conocimiento:
