Multiplicación de matrices como composición

La multiplicación de matrices es la operación que te permite componer dos o más transformaciones lineales en una sola, aplicando, por ejemplo, primero una rotación y después un escalado sobre el mismo espacio. Si estás aprendiendo álgebra lineal aplicada a gráficos, machine learning o ciencia de datos, este concepto es la base para entender cómo se combinan operaciones geométricas.

A diferencia de una suma elemento por elemento, multiplicar matrices significa encadenar transformaciones, y eso cambia por completo la forma en que debes leer la operación.

¿Qué significa multiplicar dos matrices?

Cada matriz indica a dónde van los vectores base i sombrerito y j sombrerito después de una transformación. Cuando multiplicas dos matrices, estás tomando el resultado de una transformación y aplicándole otra encima.

Imagina que tienes una matriz B que rota el espacio y una matriz A que lo inclina. Al calcular A por B, primero ocurre la rotación con B y luego la inclinación con A sobre ese espacio ya rotado. La nueva matriz resultante contiene las coordenadas finales de i y j después de las dos transformaciones [1:05].

¿En qué orden se leen las transformaciones al multiplicar matrices? De derecha a izquierda. En A por B, primero se aplica B y después A. El orden importa porque la multiplicación de matrices no es conmutativa.

¿Cuándo es posible multiplicar dos matrices?

Existe una regla de dimensiones que siempre debes verificar antes de operar. El número de columnas de la primera matriz tiene que coincidir con el número de filas de la segunda.

• Si A es de tamaño M por K y B es de tamaño K por N, la operación es válida.
• El resultado tendrá dimensiones M por N, es decir, las dimensiones externas.
• Si las dimensiones internas no coinciden, la multiplicación es imposible [1:55].

Esta verificación rápida te ahorra errores antes de cualquier cálculo.

¿Cómo calcular A por B paso a paso?

Vamos con un ejemplo concreto. Toma la matriz A de inclinación con columnas [1, 0] y [1, 1], y la matriz B de rotación con columnas [0, 1] y [-1, 0], que rota el espacio 90 grados a la izquierda. Queremos encontrar C igual a A por B [2:25].

La clave es ver cada matriz como vectores columna y operar de derecha a izquierda. Es decir, aplicas A sobre cada columna de B usando el producto matriz-vector que ya conoces.

Aplicando A sobre cada columna de B

Primero tomas la columna i de B, que es [0, 1], y la multiplicas por A usando combinaciones lineales:

• 0 por [1, 0] más 1 por [1, 1] da como resultado [1, 1].
• Esa es la primera columna de C.

Luego tomas la columna j de B, que es [-1, 0], y repites el procedimiento:

• -1 por [1, 0] más 0 por [1, 1] da como resultado [-1, 0].
• Esa es la segunda columna de C.

La matriz resultante es C con columnas [1, 1] y [-1, 0] [3:50]. Visualmente, los vectores base primero rotan y luego se inclinan hacia la derecha, terminando exactamente en esas coordenadas.

¿Qué representa la matriz resultante de A por B? Representa la transformación total que combina ambas operaciones en un solo paso. Sus columnas son las nuevas coordenadas de i y j después de aplicar B y luego A.

¿Qué propiedades cumple la multiplicación de matrices?

Conocer las propiedades te permite manipular expresiones matriciales con confianza, algo fundamental cuando trabajas con redes neuronales, gráficos 3D o sistemas de ecuaciones [4:30].

• No es conmutativa: A por B no es igual a B por A. Si B rota y A escala, primero rotar y luego escalar produce un resultado distinto a primero escalar y luego rotar.
• Es asociativa: (A por B) por C es lo mismo que A por (B por C). Puedes reagrupar sin alterar el resultado.
• Es distributiva con la suma y la resta: A por (B más o menos C) equivale a A por B más o menos A por C.

Estas propiedades te dan flexibilidad al simplificar expresiones, pero recuerda siempre respetar el orden de los factores.

¿Por qué la multiplicación de matrices no es conmutativa? Porque cada matriz representa una transformación geométrica distinta, y aplicar una rotación antes o después de un escalado lleva los vectores a posiciones diferentes en el espacio.

Tu turno de practicar

Para afianzar lo aprendido, toma la matriz A igual a [[1, 0], [1, 1]] (una inclinación) y la matriz B igual a [[2, 0], [0, 2]] (un escalado). Calcula:

• C igual a A por B.
• D igual a B por A.

Compara los resultados y verás de primera mano que el orden cambia la transformación final [5:45]. Comparte tus respuestas en los comentarios y, si te animas, grafica ambas composiciones para visualizar la diferencia.