Cambio de base entre sistemas de coordenadas

El cambio de base es la herramienta del álgebra lineal que te permite describir el mismo vector o la misma transformación desde otra perspectiva. Si entiendes esta idea, vas a comprender por qué un problema complicado puede volverse trivial al elegir el sistema de coordenadas correcto.

Cuando escribimos el vector 3,2, asumimos implícitamente que estamos hablando el idioma de la base estándar, formada por los vectores i sombrerito igual a 1,0 y j sombrerito igual a 0,1. Por eso 3,2 es solo una abreviatura de la combinación lineal 3i + 2j. Pero esa no es la única manera de describir el espacio.

¿Qué significa cambiar de base en R2?

Imagina que llega Jennifer con su propio sistema de coordenadas, definido por dos vectores linealmente independientes: V1 igual a 2,1 y V2 igual a -1,1. Como generan todo R2, son una base perfectamente válida.

El mismo vector que tú llamas 3,2 en tu base, para Jennifer tiene otras coordenadas. La flecha no se movió, lo que cambió es el lenguaje para describirla. Encontrar esos nuevos escalares C1 y C2 tales que C1·V1 + C2·V2 reproduzca el vector original es, en esencia, traducir coordenadas entre bases.

¿Qué es un cambio de base? Es el proceso de reescribir un vector o una transformación usando un sistema de coordenadas diferente. El objeto geométrico no cambia, solo cambian los números que lo describen.

¿Cómo se traduce una matriz de transformación a otra base?

La fórmula clave es B⁻¹ · M · B, donde M es la transformación en tu base, B es la matriz de cambio de base (las coordenadas de Jennifer escritas en tu idioma) y B⁻¹ traduce de vuelta al idioma de Jennifer. Son tres pasos lógicos encadenados.

Paso 1: calcular la inversa de la matriz de cambio de base

Usemos una rotación de 90 grados en sentido antihorario como ejemplo, con M igual a 0,-1,1,0 y B igual a 2,-1,1,1.

Primero calculamos el determinante de B: (2)(1) - (-1)(1) = 3. La inversa se obtiene intercambiando la diagonal principal, negando los signos de la otra diagonal y dividiendo entre el determinante. El resultado es B⁻¹ igual a 1/3, 1/3, -1/3, 2/3.

Paso 2: multiplicar M por B

Al realizar M·B obtenemos -1,-1,2,-1. Esto significa: primero interpretamos los vectores de Jennifer en nuestro idioma con B, y luego les aplicamos la rotación M.

Paso 3: aplicar B⁻¹ al resultado

Multiplicamos B⁻¹ por (M·B) y obtenemos la matriz final:

• 1/3 en la posición superior izquierda.
• 5/3 en la superior derecha.
• -2/3 en la inferior izquierda.
• -1/3 en la inferior derecha.

Esa matriz representa la misma rotación de 90 grados, pero escrita en el idioma de Jennifer.

¿Cómo se aplica la matriz traducida a un vector de Jennifer?

Supongamos que Jennifer trae un vector que en su sistema vale 1,2. Si multiplicamos nuestra matriz traducida por ese vector, obtenemos -1,1. Ese resultado son las coordenadas, en el idioma de Jennifer, del mismo vector después de ser rotado 90 grados.

Visualmente sucede algo elegante: en la base estándar ves la flecha morada girar 90 grados respecto a i y j. En la base de Jennifer ves la flecha naranja girar 90 grados respecto a V1 y V2. La transformación es la misma, lo único que cambia es la perspectiva desde la que la describimos.

¿Para qué sirve B⁻¹·M·B? Es la fórmula que traduce una transformación lineal de una base a otra. M actúa en tu idioma, B traduce de la otra base a la tuya y B⁻¹ regresa el resultado al idioma original.

¿Por qué importa elegir una base diferente?

Piensa en un videojuego donde un personaje avanza en diagonal. En los ejes X y Y clásicos, su movimiento se describe como 3 unidades en X y 3 unidades en Y. Pero desde la perspectiva del personaje, simplemente se mueve hacia adelante.

Si rotas el sistema de coordenadas para que uno de los ejes apunte en su dirección, ese mismo desplazamiento se vuelve algo como 4.2, 0. Una sola coordenada en lugar de dos. Cambiar de base te permite elegir el sistema más conveniente para cada problema, y muchas veces una transformación que parece compleja se vuelve trivial cuando se mira desde la base correcta.

Ejercicio para practicar el cambio de base

Toma la matriz de inclinación A igual a 1,2,0,1 y tradúcela al idioma de Jennifer usando las mismas bases B1 igual a 2,1 y B2 igual a -1,1. Luego aplica la matriz resultante a un vector expresado en las coordenadas de Jennifer y comparte tu resultado en los comentarios.

Y si te preguntas si existe una base ideal donde cualquier transformación se vea de la forma más simple posible, la respuesta es sí: esos ejes especiales se llaman eigenvectores, y los vas a conocer en la siguiente clase. ¿Qué base crees que simplificaría más tus problemas? Cuéntamelo abajo.