Proyección ortogonal para sistemas sin solución

Cuando un sistema de ecuaciones no tiene solución exacta, la proyección ortogonal se convierte en la herramienta que te permite encontrar la mejor aproximación posible. Si entiendes cómo proyectar un vector sobre otro, puedes resolver problemas donde Ax = B parecía imposible y descubrir el punto más cercano dentro del espacio columna.

¿Qué es una proyección ortogonal en álgebra lineal?

Imagina que una luz brilla perpendicularmente sobre una línea y un vector arroja su sombra encima. Esa sombra es la proyección ortogonal.

Cuando un vector B está fuera del espacio columna de A, no puedes construirlo a partir de las columnas disponibles. Pero sí puedes encontrar el punto dentro de ese espacio que más se acerca a B. Y ese punto es, justamente, la proyección.

¿Qué es la proyección ortogonal de un vector? Es la sombra que un vector arroja sobre otro vector o sobre un subespacio cuando la luz incide de forma perpendicular. Representa el punto más cercano al vector original dentro de ese subespacio.

¿Por qué importa la proyección cuando Ax = B no tiene solución?

Si B vive fuera del espacio columna de A, no existe una x que cumpla la ecuación de forma exacta. Aquí es donde la proyección de B sobre el espacio columna te entrega la mejor aproximación: el vector más cercano a B que sí puedes construir con las columnas de A.

Esto es clave en aplicaciones como mínimos cuadrados, regresiones y aproximaciones numéricas.

¿Cómo se calcula la proyección de B sobre A paso a paso?

La fórmula que vas a usar combina herramientas que ya conoces: producto punto y norma.

La proyección de B sobre A se define así:

• Calcula el producto punto entre B y A.
• Divide ese resultado entre la norma de A elevada al cuadrado.
• Multiplica ese escalar por el vector A.

El paréntesis te dice cuánto de A necesitas para formar la sombra, y al multiplicarlo por A obtienes el vector proyección final [01:30].

Ejemplo práctico: proyectar B = (2,3) sobre A = (4,0)

Vamos a aplicar la fórmula con números concretos [02:10]:

1. Producto punto de B y A: 2·4 + 3·0 = 8.
2. Norma de A al cuadrado: la raíz de 16, elevada al cuadrado, da 16.
3. Escalar resultante: 8/16 = 1/2.
4. Multiplicas 1/2 por (4,0) y obtienes (2,0).

Gráficamente, el vector (2,0) cae exactamente sobre la línea que define A, y las líneas punteadas perpendiculares confirman que ese es el punto más cercano a B en el espacio de A.

¿Cómo aplicar la proyección a un sistema sin solución?

Recuerda el sistema de la clase anterior: x + y = 2 y x + y = 4. No tenía solución porque las rectas son paralelas.

Al construir la matriz de coeficientes obtienes columnas duplicadas (1,1) y (1,1), así que el espacio columna se reduce al vector (1,1). El vector resultado es B = (2,4), que vive fuera de esa línea [04:30].

¿Qué hago cuando un sistema lineal no tiene solución? Proyecta el vector resultado B sobre el espacio columna de la matriz. El vector que obtengas es la solución aproximada más cercana posible.

Cálculo de la proyección sobre el espacio columna

Aplicas la misma fórmula [05:10]:

• Producto punto de B y A: 2·1 + 4·1 = 6.
• Norma de A al cuadrado: raíz de (1+1) elevada al cuadrado = 2.
• Escalar: 6/2 = 3.
• Multiplicas 3 por (1,1) y obtienes (3,3).

Ese punto (3,3) está dentro de la línea que genera el espacio columna y es el más cercano a B = (2,4). Verificado gráficamente, la proyección cae justo sobre la recta y representa la mejor aproximación posible al sistema original.

¿Qué conceptos clave debes dominar de esta clase?

Antes de pasar al siguiente tema, asegúrate de tener claros estos elementos que aparecen a lo largo de la clase:

• Espacio columna de A: el conjunto de todos los vectores que puedes construir combinando linealmente las columnas de A [00:30].
• Producto punto: operación entre dos vectores que devuelve un escalar y mide cuánto se alinean [02:30].
• Norma de un vector: la longitud del vector, calculada como la raíz cuadrada de la suma de sus componentes al cuadrado [02:50].
• Vector proyección: el resultado final que vive dentro del subespacio y minimiza la distancia al vector original [03:30].
• Mejor aproximación: cuando no hay solución exacta, la proyección entrega el vector más cercano que sí pertenece al espacio columna [05:50].

Ahora te toca a ti. Con el vector V = (3,0) y el vector U = (1,1), calcula la proyección de U sobre V y comparte tu vector resultante en los comentarios.