Cambio de base en transformaciones lineales

Cambiar de base te permite describir el mismo vector o la misma transformación lineal desde otro “idioma” de coordenadas, sin alterar la geometría. Aquí verás cómo pasar de la base estándar a la base de Jennifer, cómo hallar la matriz equivalente de una rotación de 90 grados en ese nuevo sistema y por qué esto simplifica problemas reales.

¿Qué es el cambio de base y por qué importa?

Cambiar de base es reescribir un objeto geométrico con otros vectores de referencia. En la base estándar, el vector (3, 2) significa la combinación lineal 3 I sombrerito + 2 J sombrerito. Los números 3 y 2 son “instrucciones” en ese idioma. Si alguien, como Jennifer, elige otra base con b1 = (2, 1) y b2 = (−1, 1), el mismo vector se representa con otras coordenadas c1 y c2, pero la flecha en el plano no cambia: cambia la perspectiva para escribirla.

• Base estándar: I sombrerito = (1, 0), J sombrerito = (0, 1).
• Combinación lineal: 3 I sombrerito + 2 J sombrerito construye (3, 2).
• Nuevas coordenadas: buscar c1, c2 tales que c1 b1 + c2 b2 = (3, 2).
• Idea clave: el vector no cambia, cambia el sistema de referencia.

¿Cómo simplifica problemas como un videojuego?

En un juego, moverse en diagonal puede verse como “3 en X y 3 en Y” en la base estándar, pero, desde el punto de vista del personaje, es “solo hacia adelante”. Si rotas el sistema para alinear un eje con su dirección, la coordenada puede verse como 4.2, 0: el movimiento queda sobre el eje X y se simplifica. Cambiar de base elige el sistema más conveniente para describir el problema.

¿Cómo se cambian coordenadas con una base no estándar?

Para reescribir un vector en la base de Jennifer, se plantean coeficientes que combinen sus generadores. Dado b1 = (2, 1) y b2 = (−1, 1), que son linealmente independientes y generan R², cualquier vector del plano puede expresarse como c1 b1 + c2 b2.

• Planteo: hallar c1, c2 tales que c1 b1 + c2 b2 iguale al vector original.
• Lectura: c1 y c2 son las nuevas coordenadas en la base de Jennifer.
• Beneficio: describir el mismo objeto con números que “encajan” mejor con el problema.

¿Cómo se traduce una transformación lineal a otra base?

La traducción de una transformación a otra base sigue tres pasos lógicos. Supón una rotación de 90 grados en sentido antihorario dada, en la base estándar, por la matriz M = [0 1; −1 0]. La base de Jennifer viene como matriz de cambio de base B = [2 1; −1 1] (columnas b1 y b2).

• Paso 1: calcular la matriz inversa de B. Determinante de B: 2·1 − (−1·1) = 3. Entonces, B⁻¹ = (1/3) · [1 −1; 1 2].
• Paso 2: multiplicar en el sistema original. M · B = [−1 2; −1 −1].
• Paso 3: llevar el resultado a la base de Jennifer. B⁻¹ · (M · B) = (1/3) · [1 5; −2 −1]. Es decir, la rotación de 90 grados, escrita en las coordenadas de Jennifer, queda como la matriz:
• (1/3, 5/3; −2/3, −1/3).

Con esta matriz, si Jennifer entrega el vector (1, 2) en su sistema y aplicamos la transformación, el resultado es (−1, 1) en el mismo sistema de Jennifer. La animación ilustra que, tanto en la base estándar I sombrerito, J sombrerito como en la base de Jennifer, la rotación es la misma, solo cambia la forma de escribirla.

• Conceptos clave: matriz de cambio de base, determinante, matriz inversa, producto de matrices, traducción de coordenadas, rotación de 90 grados.
• Habilidad desarrollada: descomponer una transformación como B⁻¹ · M · B para expresar la misma operación en otra base.
• Dato útil: b1 y b2 generan R² y son independientes, por eso forman una base válida.

¿Qué ejercicio propone el instructor?

• Traducir la transformación de inclinación A = [1 0; 2 1] al idioma de Jennifer usando sus b1 y b2.
• Aplicar la nueva matriz a un vector dado en coordenadas de Jennifer.
• Compartir el resultado y el procedimiento en los comentarios.

¿Qué base ideal simplifica más una transformación?

Sí existe una base donde la transformación se vuelve “lo más simple posible”: el sistema alineado con sus eigenvectores. Ese será el foco en la siguiente sesión.

¿Te animas a calcular la transformación de inclinación en la base de Jennifer y contar tu proceso? Deja tus resultados y dudas en los comentarios.