Combinaciones lineales: construir planos con vectores

Comprende con claridad qué puedes construir con un conjunto de vectores. A partir de la suma y la multiplicación por escalar, verás cómo una combinación lineal transforma dos vectores en bloques de construcción capaces de definir líneas, planos y aplicaciones prácticas como el modelo RGB.

¿Qué es una combinación lineal y cómo se visualiza?

Una combinación lineal toma vectores, los escala con números reales y los suma. Con dos vectores V1 y V2, cualquier vector del tipo A·V1 + B·V2 es una combinación lineal. Imagina A y B como perillas que ajustas libremente antes de sumar.

• Si fijas B y solo varías A, el resultado traza una línea paralela a V1.
• Si fijas A y varías B, obtienes una línea paralela a V2.
• Esta geometría explica por qué se llama “lineal”.

¿Cómo operar con V1 y V2 en el plano?

Ejemplo explícito: V1 = (1, 2) y V2 = (2, 1). Fija B = 1 y toma A = 2. Primero escala V1 al doble y luego suma V2.

• Aplica la regla del paralelogramo para sumar: desplaza un vector a la punta del otro y traza la diagonal desde el origen.
• La diagonal es el resultado de A·V1 + B·V2.

• Con B fijo, los resultados quedan sobre una línea paralela a V1.

• Habilidades y keywords: suma de vectores, multiplicación por escalar, regla del paralelogramo, línea paralela, parámetros A y B.

¿Qué es el espacio generado y qué casos hay?

El espacio generado (span) responde: si puedes girar libremente las perillas A y B, ¿qué puntos del espacio alcanzas? Con dos vectores en el plano hay tres escenarios.

• Vectores en direcciones diferentes: el span es el plano 2D completo.
• Vectores colineales: el span es una línea; el segundo vector es redundante.

• Ambos vectores son el vector cero: solo obtienes el origen. El span es un punto si uno de los vectores es cero y el otro no.

• Habilidades y keywords: espacio generado, plano 2D, colineales, vector cero, redundancia.

¿Por qué la base estándar define el plano y qué aplicaciones tiene?

Los vectores de la base estándar son especiales: î = (1, 0) y ĵ = (0, 1). Cualquier vector del plano es una combinación lineal de estos dos.

• Ejemplo: V = (3, 2) se escribe como 3·î + 2·ĵ.
• î y ĵ son ortogonales (forman 90 grados) y unitarios (longitud 1).

¿Cómo describir cualquier vector con la base estándar?

• Mueve 3 unidades en x con î y 2 unidades en y con ĵ.
• Sumar esos desplazamientos devuelve el vector V.
• Habilidades y keywords: base estándar, coordenadas, ortogonal, unitario.

¿Qué aplicación ilustra el modelo RGB?

El modelo de color RGB combina tres “vectores” básicos: rojo, verde y azul.

• Un morado puede escribirse como 0.5 de rojo + 0.1 de verde + 0.8 de azul.
• Usas combinaciones lineales todos los días sin notarlo.

¿Qué ejercicio practicar y qué sigue?

Practica con estos conjuntos y comparte tu gráfica:

• Conjunto A: u = (1, 1), v = (−1, 1). Escribe su span y dibújalo.
• Conjunto B: u = (1, 1), v = (1, 2). Escribe su span y dibújalo.
• Siguiente paso: evaluar si los vectores son eficientes o no redundantes mediante independencia lineal.

¿Qué span obtuviste para A y B? Comparte tu razonamiento y la gráfica en los comentarios.