Cómo calcular la norma de un vector

Aprende a medir la longitud de un vector con precisión. Aquí verás la norma L2 (euclidiana), sus propiedades, cómo normalizar para obtener un vector unitario, y un vistazo a otras normas útiles como L1, L0 y L∞. Todo con ejemplos simples y resultados exactos.

¿Qué es la norma de un vector y por qué importa?

La norma es un número real que indica la longitud de un vector. La más usada es la norma L2 o euclidiana: mide la distancia en línea recta desde el origen hasta el punto del vector. Es clave en contextos reales como navegación y GPS, física (intensidad de una fuerza) y diseño gráfico (escalas y dimensiones).

• Si dos vectores apuntan en la misma dirección, su producto punto es positivo. Pero pueden tener magnitudes distintas. Por eso la norma completa la descripción de un vector.
• La norma es la “regla” con la que medimos el espacio. Sin longitud, solo tendríamos dirección incompleta.

¿Cómo se calcula y qué propiedades tiene la norma L2?

La norma L2 se calcula con el teorema de Pitágoras. En 2D, la longitud es la hipotenusa del triángulo formado por las componentes. En 3D y nD, se suma al cuadrado cada componente y se saca la raíz.

¿Cómo aplicar Pitágoras para obtener la longitud?

• Ejemplo en 2D: u = (3, 4).
• Cálculo: raíz de (3² + 4²) = raíz de (9 + 16) = raíz de 25 = 5.
• Interpretación: la flecha del vector es la hipotenusa; su longitud es 5.

¿Qué propiedades cumple la norma?

• No negatividad: la norma siempre es mayor o igual a 0.
• Homogeneidad absoluta: ||α·v|| = |α|·||v||. Escalar positivo agranda; fracción reduce.
• Desigualdad triangular: ||u + v|| ≤ ||u|| + ||v||. La ruta directa nunca es más larga que hacer escalas.

¿Cómo generalizar a n dimensiones?

• En 3D: raíz de (x² + y² + z²).
• En nD: raíz de la suma de los n componentes al cuadrado.
• La idea es la misma: sumar “energías” por componente y medir la distancia total.

¿Cómo construir vectores unitarios y qué otras normas existen?

Un vector unitario tiene norma igual a 1. Representa una dirección pura, sin magnitud. Para obtenerlo, se usa la normalización: dividir el vector entre su propia norma.

• Ejemplo: w = (6, −8).
• Norma: raíz de (6² + (−8)²) = raíz de (36 + 64) = raíz de 100 = 10.
• Vector unitario: ŵ = (1/10)·(6, −8) = (3/5, −4/5). Su norma es 1.

Otras normas útiles según el contexto: - Norma L1 (Manhattan): suma de valores absolutos de las componentes. Modelo de calles en cuadrícula, no hay diagonales. - Norma L0: cuenta cuántas componentes son distintas de cero. Útil para medir esparcidad. - Norma L∞ (máximo): toma el mayor valor absoluto entre las componentes. Interesa el peor caso o impacto máximo.

¿Te gustaría ver más ejemplos con datos concretos o conectar la norma con el producto punto desde otra definición? Deja tu comentario y propón un vector para practicar.