Comprende de forma clara cómo la multiplicación de matrices representa la composición de transformaciones lineales. Aquí verás el orden correcto de aplicación (derecha a izquierda), la regla de dimensiones para que el producto exista y un ejemplo resuelto con rotación e inclinación que muestra cómo leer las columnas como imágenes de los vectores base.
Multiplicación de matrices: composición, orden y ejemplo con rotación e inclinación
¿Qué significa multiplicar matrices en términos de transformaciones lineales?
La multiplicación de matrices no es elemento a elemento: es la composición de transformaciones lineales. Una matriz describe a dónde van los vectores base î y ĵ; sus columnas son esas nuevas coordenadas tras la transformación. Si primero transformas con B y luego con A, el producto correspondiente es A · B, y se lee de derecha a izquierda: primero B, después A.
Ideas clave.
- Las columnas describen el destino de î y ĵ tras una transformación.
- Componer es aplicar B y luego A: se anota A · B.
- Regla de dimensiones: columnas de la primera = filas de la segunda.
- Dimensión del resultado: las dimensiones externas m × n.
- Si las dimensiones internas no coinciden, el producto es imposible.
¿Cómo se calcula A · B usando columnas y productos matriz‑vector?
Ejemplo propuesto: A es una matriz de inclinación y B una matriz de rotación 90° a la izquierda.
A =
B =
Se procede de derecha a izquierda y se tratan las matrices como vectores columna. Las columnas de B indican a dónde van î y ĵ: B·î = [0, 1] y B·ĵ = [-1, 0]. Luego aplicamos A a cada resultado para obtener las columnas de C = A · B.
Primera columna de C: A · (B·î) = A · [0, 1].
- Como combinación lineal de columnas de A: 0·columna1(A) + 1·columna2(A).
- columna1(A) = [1, 1], columna2(A) = [0, 1].
- Resultado: [1, 1]·0 + [0, 1]·1 = [1, 1].
Segunda columna de C: A · (B·ĵ) = A · [-1, 0].
- Como combinación lineal: (−1)·columna1(A) + 0·columna2(A).
- Resultado: −1·[1, 1] + 0·[0, 1] = [−1, 0].
Matriz resultante C = A · B:
Lecturas clave.
- Cada columna del producto es A multiplicando una columna de B.
- El orden importa: primero rota el espacio con B y luego inclina con A.
- Las nuevas coordenadas de î y ĵ tras ambas transformaciones son las columnas de C.
¿Qué propiedades y qué orden importan en A · B?
Conocer las propiedades evita errores frecuentes y asegura interpretaciones correctas de la composición.
- No conmutativa: A · B ≠ B · A. Si B es una rotación y A un escalado, primero rotar y luego escalar no es lo mismo que escalar y luego rotar.
- Asociativa: (A · B) · C = A · (B · C). Puedes reagrupar sin cambiar el resultado.
- Distributiva sobre suma y resta: A · (B ± C) = A · B ± A · C.
- Orden de lectura: siempre de derecha a izquierda en términos de transformaciones aplicadas.
- Verificación previa: confirma que las dimensiones internas coinciden antes de multiplicar.
Ejercicio sugerido.
- A = [[1, 0], [1, 1]] es inclinación. B = [[2, 0], [0, 2]] es escalado.
- Calcula C = A · B y D = B · A.
- Comenta tus resultados y, si puedes, grafícalos para visualizar el efecto.
¿Te quedó alguna duda sobre el orden o el cálculo columna a columna? Deja tus preguntas y comparte tus resultados del ejercicio en los comentarios.
