Cómo funciona la multiplicación de matrices

Comprende de forma clara cómo la multiplicación de matrices representa la composición de transformaciones lineales. Aquí verás el orden correcto de aplicación (derecha a izquierda), la regla de dimensiones para que el producto exista y un ejemplo resuelto con rotación e inclinación que muestra cómo leer las columnas como imágenes de los vectores base.

Multiplicación de matrices: composición, orden y ejemplo con rotación e inclinación

¿Qué significa multiplicar matrices en términos de transformaciones lineales?

La multiplicación de matrices no es elemento a elemento: es la composición de transformaciones lineales. Una matriz describe a dónde van los vectores base î y ĵ; sus columnas son esas nuevas coordenadas tras la transformación. Si primero transformas con B y luego con A, el producto correspondiente es A · B, y se lee de derecha a izquierda: primero B, después A.

Ideas clave. - Las columnas describen el destino de î y ĵ tras una transformación. - Componer es aplicar B y luego A: se anota A · B. - Regla de dimensiones: columnas de la primera = filas de la segunda. - Dimensión del resultado: las dimensiones externas m × n. - Si las dimensiones internas no coinciden, el producto es imposible.

¿Cómo se calcula A · B usando columnas y productos matriz‑vector?

Ejemplo propuesto: A es una matriz de inclinación y B una matriz de rotación 90° a la izquierda.

A =

[1 0]
[1 1]

B =

[ 0  1]
[-1  0]

Se procede de derecha a izquierda y se tratan las matrices como vectores columna. Las columnas de B indican a dónde van î y ĵ: B·î = [0, 1] y B·ĵ = [-1, 0]. Luego aplicamos A a cada resultado para obtener las columnas de C = A · B.

Primera columna de C: A · (B·î) = A · [0, 1]. - Como combinación lineal de columnas de A: 0·columna1(A) + 1·columna2(A). - columna1(A) = [1, 1], columna2(A) = [0, 1]. - Resultado: [1, 1]·0 + [0, 1]·1 = [1, 1].

Segunda columna de C: A · (B·ĵ) = A · [-1, 0]. - Como combinación lineal: (−1)·columna1(A) + 0·columna2(A). - Resultado: −1·[1, 1] + 0·[0, 1] = [−1, 0].

Matriz resultante C = A · B:

[ 1 -1]
[ 1  0]

Lecturas clave. - Cada columna del producto es A multiplicando una columna de B. - El orden importa: primero rota el espacio con B y luego inclina con A. - Las nuevas coordenadas de î y ĵ tras ambas transformaciones son las columnas de C.

¿Qué propiedades y qué orden importan en A · B?

Conocer las propiedades evita errores frecuentes y asegura interpretaciones correctas de la composición.

• No conmutativa: A · B ≠ B · A. Si B es una rotación y A un escalado, primero rotar y luego escalar no es lo mismo que escalar y luego rotar.
• Asociativa: (A · B) · C = A · (B · C). Puedes reagrupar sin cambiar el resultado.
• Distributiva sobre suma y resta: A · (B ± C) = A · B ± A · C.
• Orden de lectura: siempre de derecha a izquierda en términos de transformaciones aplicadas.
• Verificación previa: confirma que las dimensiones internas coinciden antes de multiplicar.

Ejercicio sugerido. - A = [[1, 0], [1, 1]] es inclinación. B = [[2, 0], [0, 2]] es escalado. - Calcula C = A · B y D = B · A. - Comenta tus resultados y, si puedes, grafícalos para visualizar el efecto.

¿Te quedó alguna duda sobre el orden o el cálculo columna a columna? Deja tus preguntas y comparte tus resultados del ejercicio en los comentarios.