Cómo la matriz inversa resuelve AX = B

Comprender la matriz inversa y la matriz identidad te permite revertir transformaciones lineales y resolver AX = B de forma directa. Aquí verás qué significan, cómo se usan paso a paso y cuáles son sus condiciones y propiedades sin rodeos, con énfasis en los resultados que realmente importan.

¿Qué es la matriz identidad y por qué es el estado neutro?

La matriz identidad (I) tiene unos en la diagonal principal y ceros en el resto. Es el elemento neutro de la multiplicación de matrices: A·I = A. Geométricamente, representa la transformación que no cambia nada.

• Diagonal con unos, fuera de la diagonal ceros.
• Equivalente matricial del número uno.
• Mantiene cualquier matriz y cualquier vector sin alterarlo.

¿Qué es la matriz inversa y cómo resuelve AX = B?

La matriz inversa de A, escrita como A⁻¹, es la transformación que deshace el efecto de A. Su rasgo definitorio: A·A⁻¹ = I. Esto encaja con la idea de hacer y deshacer: equivaldría a no haber transformado el vector.

• Si A transforma X en B, entonces A⁻¹ transforma B de vuelta a X.
• Procedimiento para resolver AX = B:
• Multiplica por A⁻¹ a ambos lados: A⁻¹·AX = A⁻¹·B.
• Agrupa: (A⁻¹·A)X = I·X.
• Simplifica: X = A⁻¹·B.
• Habilidad clave: despejar X mediante producto de matrices, sin resolver un sistema ecuacional explícito.

¿Cómo verificar si una matriz es la inversa de otra?

Para comprobar si B es inversa de A, calcula A·B (y, de forma ideal, B·A). Si obtienes la identidad, entonces lo es.

Ejemplo trabajado:

• Matrices dadas: A = [[3, 2], [1, 1]], B = [[1, −2], [−1, 3]].
• Cálculo: el producto A·B resulta [[1, 0], [0, 1]].
• Conclusión directa: B es la inversa de A porque el producto da la identidad.
• Habilidad asociada: identificar inversas con el producto de matrices y la matriz identidad como criterio.

¿Cuándo existe la inversa y qué propiedades debes dominar?

No todas las matrices son invertibles. Para que una matriz tenga inversa deben cumplirse dos condiciones fundamentales:

• Debe ser cuadrada. La inversa debe funcionar en ambos sentidos: A·A⁻¹ = I y A⁻¹·A = I.
• Su transformación no debe aplastar el espacio perdiendo dimensiones. Si pierde dimensiones, no hay forma de revertir completamente la transformación.

Propiedades esenciales de la matriz inversa:

• (A⁻¹)⁻¹ = A. Deshacer lo deshecho recupera la matriz original.
• (A·B)⁻¹ = B⁻¹·A⁻¹. El orden se invierte porque en matrices se compone de derecha a izquierda.
• (Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ. La inversa de la transpuesta coincide con la transpuesta de la inversa.

Práctica sugerida:

• Dados: A = [[2, 5], [1, 3]] y B = [[3, −5], [−1, 2]].
• Tarea: verifica si B es la inversa de A o si A es la inversa de B, multiplicando y buscando la matriz identidad.

¿Ya lo comprobaste? Comparte tu resultado y cómo lo calculaste en los comentarios.