Diagnóstico de sistemas: rangos y tipos de solución

Antes de invertir horas resolviendo un sistema de ecuaciones lineales, conviene diagnosticar si tiene solución, si es única o si hay infinitas. Con una matriz aumentada A|B, la eliminación gaussiana y la comparación de rangos frente al número de variables, puedes decidirlo rápido y con seguridad, incluso interpretándolo de forma geométrica: líneas que se cruzan, paralelas o superpuestas.

¿Cómo diagnosticar un sistema de ecuaciones lineales antes de resolverlo?

Para decidir el tipo de solución, basta con transformar la matriz aumentada A|B a forma escalonada y comparar: rango de A, rango de A|B y número de variables. La idea central es contar pivotes.

¿Qué es la matriz aumentada A|B y la eliminación gaussiana?

• Matriz aumentada: A|B reúne los coeficientes del sistema y la columna de resultados.
• Eliminación gaussiana: operaciones por filas hasta obtener forma escalonada.
• Pivotes: entradas líderes no nulas por fila en la parte escalonada.
• Lectura geométrica: rectas que se cruzan, no se tocan o coinciden.

¿Cómo usar los rangos y el número de variables?

• Regla 1: si rango(A) = rango(A|B) = número de variables, hay única solución.
• Regla 2: si rango(A) < rango(A|B), el sistema no tiene solución.
• Regla 3: si rango(A) = rango(A|B) < número de variables, hay infinitas soluciones y aparecen variables libres.

¿Qué casos de solución existen y cómo se reconocen?

Los tres escenarios se detectan al comparar rangos y, si quieres, también desde la geometría de rectas en el plano.

¿Cuándo hay una única solución?

• Ejemplo: x − y = 1, x + y = 3.
• Acción: A|B a forma escalonada con eliminación gaussiana.
• Lectura: rango(A) = 2, rango(A|B) = 2, variables = 2.
• Conclusión: única solución; geométricamente, las rectas se cruzan en un punto.

¿Cuándo no hay solución (sistema inconsistente)?

• Ejemplo: x + y = 2, x + y = 4.
• Señal en la última fila: aparece algo equivalente a 0 = 2, una contradicción.
• Lectura: rango(A) = 1, rango(A|B) = 2.
• Conclusión: no hay solución; geométricamente, rectas paralelas que no se tocan.

¿Cuándo hay infinitas soluciones?

• Ejemplo: x + y = 2, 2x + 2y = 4.
• Señal en la última fila: 0 = 0, ecuación redundante.
• Lectura: rango(A) = 1, rango(A|B) = 1, variables = 2.
• Conclusión: infinitas soluciones; hay variables libres y rectas superpuestas.
• Idea útil: una ecuación puede ser múltiplo de otra, por eso no añade información nueva.

¿Qué habilidades y conceptos conviene practicar?

La precisión al diagnosticar depende de dominar vocabulario, procedimientos y señales típicas.

¿Qué pasos aplicar de forma consistente?

• Construir la matriz aumentada A|B correctamente.
• Ejecutar eliminación gaussiana hasta una forma escalonada clara.
• Identificar pivotes y contar el rango de A y el rango de A|B.
• Comparar rangos con el número de variables.
• Detectar contradicciones como 0 = 2 o redundancias como 0 = 0.

¿Qué conceptos clave recordar siempre?

• Rango de A: pivotes en la parte de coeficientes.
• Rango de A|B: pivotes en la matriz completa.
• Variable libre: aparece cuando faltan pivotes respecto al número de variables.
• Interpretación geométrica: intersección, paralelismo, superposición.

¿Te gustaría compartir un sistema y practicar el diagnóstico con rangos y variables libres?