Ecuación característica: hallar eigenvalores y eigenvectores

Aprende a encontrar eigenvalores y eigenvectores de matrices cuadradas con un método claro y directo: partir de Av = λv, reescribirlo como (A − λI)v = 0, y resolver con el determinante. Verás la idea geométrica del colapso del espacio, un ejemplo 2x2 completo y un reto final para consolidar lo aprendido.

¿Cómo se llega a la ecuación característica?

El punto de partida es la ecuación conocida A v = λ v. Para aislar λ, se mueve λv al lado izquierdo y se agrupa como (A − λI) v = 0. Aquí la matriz identidad I permite “convertir” el escalar λ en λI y así operar con matrices. La clave es que, para que exista un eigenvector no nulo v, la matriz A − λI debe ser singular, lo que equivale a que su determinante sea cero. Esto define la ecuación característica: det(A − λI) = 0.

• Reordenar Av = λv para formar (A − λI)v = 0.
• Usar la matriz identidad para escribir λ como λI.
• Condición de existencia: matriz singular si det(A − λI) = 0.
• Interpretación geométrica: A − λI colapsa el espacio cuando su determinante es cero.
• Resultado: la ecuación característica da los eigenvalores.

¿Qué habilidades y palabras clave se practican?

• Manipulación algebraica de ecuaciones matriciales.
• Uso de la matriz identidad en restas con escalares.
• Cálculo de determinantes 2x2.
• Resolución de sistemas homogéneos para hallar eigenvectores.
• Lectura geométrica del determinante como área y colapso del espacio.

¿Cómo se resuelve el ejemplo 2x2 paso a paso?

Se trabaja con la matriz A = [3 0; 1 2]. Primero se hallan los eigenvalores con la ecuación característica y luego los eigenvectores resolviendo (A − λI)v = 0.

¿Qué eigenvalores salen de det(A − λI) = 0?

• A − λI = [3 − λ, 0; 1, 2 − λ].
• det(A − λI) = (3 − λ)(2 − λ) − 0.
• Ecuación característica: (3 − λ)(2 − λ) = 0.
• Eigenvalores: λ1 = 3 y λ2 = 2.

¿Cómo se obtienen los eigenvectores de cada λ?

• Para λ = 3: se resuelve el sistema (A − 3I)v = 0. De acuerdo con el desarrollo mostrado, un eigenvector elegido es v1 = (1, 0).
• Para λ = 2: se resuelve (A − 2I)v = 0. Un eigenvector posible según el procedimiento es v2 = (−1, 1).
• Ideas clave: vector no nulo, sistema homogéneo, grados de libertad y elección de un representante.

¿Qué aportan la animación y el reto final?

La animación ilustra cómo la transformación A − λI “aplasta” el plano: cuando el determinante se acerca a cero, el área desaparece y queda una línea. Se observa el cambio de signo del determinante al cambiar la orientación. En ese ejemplo visual, los eigenvalores que hacen det(A − λI) = 0 aparecen como 1 y 4 para una matriz distinta a la del ejercicio resuelto.

• Visualización del colapso: línea sin área cuando det = 0.
• Lectura del signo del determinante y cambio de dirección.
• Identificación de eigenvalores en la gráfica cuando el determinante cruza por cero.

Para practicar, resuelve la matriz de inclinación hacia la derecha M = [1 0; 1 1]: calcula sus eigenvalores y eigenvectores usando det(M − λI) = 0 y comparte tus resultados en los comentarios.