El determinante: por qué las matrices singulares no se invierten

El determinante es el número clave para saber si una transformación lineal se puede revertir. Más aún, es la medida que indica cuánto expande o contrae el espacio y si la orientación se mantiene o se invierte. Aquí entenderás su significado geométrico y cómo calcularlo en 2x2 y 3x3 de forma directa.

¿Qué es el determinante y por qué indica si una transformación es reversible?

El determinante de una matriz cuadrada es un factor de escala: mide cómo cambia el área en R2 o el volumen en R3 tras aplicar la transformación. Si el determinante es cero, la transformación aplasta el espacio a una dimensión inferior y se pierde información, por lo que no es invertible.

• Determinante como escala. Multiplica áreas o volúmenes por ese factor.
• Determinante cero. El área/volumen colapsa a cero. No hay inversa. Matriz singular.
• Signo del determinante. Negativo implica inversión de orientación, como un espejo.

¿Cómo interpretar el determinante en 2D y 3D?

En R2, el determinante es el área del paralelogramo generado por las imágenes de los vectores base. Si el área se triplica, el determinante es 3. Si se reduce a la mitad, el determinante es 0.5. En R3, el determinante es el volumen del paralelepípedo formado por las imágenes de los vectores base.

• En 2D: el cuadrado unitario pasa a un paralelogramo. Área igual al determinante.
• En 3D: el cubo unitario pasa a un paralelepípedo. Volumen igual al determinante.
• Determinante = 0: en 2D el cuadrado se hace línea. En 3D el cubo se hace plano o línea. No hay vuelta atrás.

¿Qué nos dice el signo del determinante?

• Positivo: mantiene la orientación del espacio.
• Negativo: invierte la orientación. Es un "volteo" tipo espejo.

¿Cómo calcular el determinante 2x2 y 3x3 y qué propiedades tiene?

Calcular el determinante en 2x2 es inmediato con el producto de diagonales. En 3x3, la regla de Sarrus da un procedimiento mecánico: sumar productos de diagonales de izquierda a derecha y restar los de derecha a izquierda.

¿Cómo se calcula en 2x2?

Para A = [a b; c d], el determinante es ad − cb.

• Ejemplo: A = [2 1; 1 2]. det(A) = 2·2 − 1·1 = 4 − 1 = 3. Triplica el área.
• Ejemplo: A = [1 2; 2 4]. det(A) = 1·4 − 2·2 = 4 − 4 = 0. Aplasta a una línea. Es matriz singular y no tiene inversa.

¿Cómo se calcula en 3x3 con la regla de Sarrus?

Para A 3x3:

• Aumenta la matriz con sus dos primeras columnas.
• Suma los productos de las tres diagonales de izquierda a derecha.
• Resta los productos de las tres diagonales de derecha a izquierda.

Ejemplo: A = [1 0 2; 3 2 1; 2 1 5].

• Suma izquierda→derecha: da 16.
• Suma derecha→izquierda: da 7.
• det(A) = 16 − 7 = 9. Escala el volumen por 9.

¿Qué propiedades básicas conviene recordar?

• det(I) = 1. La identidad no cambia área ni volumen.
• det(AB) = det(A)·det(B). La escala compuesta es el producto de escalas.
• det(A^T) = det(A). Transponer no cambia el área/volumen.

¿Te animas a un reto rápido?

• Crea una matriz 2x2 con determinante 1 que no sea la matriz identidad.
• Verifica con la regla ad − cb.
• Compártela en los comentarios y comenta por qué mantiene el área.