Clase 17 de 29 • Curso de Álgebra Lineal: Fundamentos y Aplicaciones
Contenido del curso
Álgebra lineal: la base de la IA
Qué es un vector y cómo graficarlo
Suma, resta y multiplicación de vectores
Combinaciones lineales: construir planos con vectores
Independencia lineal: cuándo un vector es redundante
Producto punto: cómo medir alineación vectorial
Cómo calcular la norma de un vector
Ángulo exacto entre dos vectores con producto punto
Sistemas de ecuaciones como Ax = b
Espacio columna vs espacio nulo en Ax=b
Ortogonalidad entre espacio fila y espacio nulo
Eliminación gaussiana paso a paso
Teorema rango-nulidad: conservación dimensional
Diagnóstico de sistemas: rangos y tipos de solución
Proyección ortogonal: mejor aproximación cuando AX=b no tiene solución
Gram-Schmidt: base torcida a ortonormal
Mínimos cuadrados para datos con ruido
Domina la eliminación gaussiana con un ejemplo claro y comprueba cómo un sistema lineal se resuelve de forma ordenada, fiable y sin cambiar su solución. Verás por qué la forma escalonada y la sustitución hacia atrás son claves, y cómo los pivotes conectan con la idea de rango. También recordarás el papel del subespacio columna (existencia de solución para AX = B) y del subespacio nulo (unicidad), para enmarcar el algoritmo dentro del álgebra lineal.
La eliminación gaussiana es un algoritmo que transforma la matriz de un sistema en una forma escalonada sin alterar sus soluciones. La estructura resultante parece una escalera: cada pivote (primer elemento no nulo de una fila) queda a la derecha del pivote superior y todo lo que está por debajo de cada pivote es cero. Con esta forma triangular, aplicar sustitución hacia atrás se vuelve directo.
Claves operativas: - Construir la matriz aumentada [A | B]. - Identificar el pivote de cada fila. - Hacer ceros debajo del pivote con operaciones elementales por filas. - Detenerse al obtener la forma escalonada. - Aplicar sustitución hacia atrás para despejar incógnitas.
Beneficios inmediatos: - Más orden y menos errores manuales. - Visión clara de si hay solución única. - Puente hacia conceptos como rango y dimensión.
Partimos del sistema 3×3 ya corregido durante el procedimiento: x + 2y + z = 2, 3x + 8y + z = 12, 4y + z = 2. Su matriz aumentada es:
[ 1 2 1 | 2 ] [ 3 8 1 | 12 ] [ 0 4 1 | 2 ]
Matriz tras la eliminación:
[ 1 2 1 | 2 ] [ 0 2 −2 | 6 ] [ 0 0 5 | −10 ]
Resultado: x = 2, y = 1, z = −2. Geométricamente, tres planos se cortan en un único punto: (2, 1, −2). La eliminación gaussiana funciona como un procedimiento algorítmico para hallar ese punto de intersección.
Habilidades reforzadas en el proceso: - Lectura de un sistema en matriz aumentada. - Identificación de pivotes y ceros por debajo del pivote. - Uso de operaciones elementales: combinar filas para eliminar términos. - Aplicación precisa de sustitución hacia atrás.
Durante la eliminación nos enfocamos en los pivotes. Además de guiar el algoritmo, el número de pivotes encontrados nos dice algo sobre la dimensión asociada a la matriz: a ese conteo se le llama rango de la matriz. Aquí, la estructura escalonada y la resolución mostraron una solución única, coherente con el análisis de subespacios: el subespacio columna de A indica si AX = B es consistente y el subespacio nulo sugiere si la solución es única.
Práctica recomendada: - Construye [A | B] y marca cada pivote con cuidado. - Verifica los ceros debajo de cada pivote antes de avanzar. - Confirma la forma escalonada antes de sustituir hacia atrás. - Interpreta el resultado en términos geométricos cuando sea posible.
Resuelve con eliminación gaussiana: 2x + y = 5 y x + y = 3. Publica en comentarios el valor de x y de y. Si quieres, comparte tu proceso paso a paso, incluyendo la matriz aumentada, las operaciones por filas y cómo aplicaste la sustitución hacia atrás.
