Comprende con claridad cómo el espacio columna y el espacio nulo de una matriz determinan la existencia y la unicidad de soluciones en Ax=b. Con ejemplos numéricos simples y una intuición geométrica directa, verás cuándo un sistema sí tiene solución, cuándo no, y si esa solución es única o infinita.
¿Qué es el espacio columna y cómo decide Ax=b?
El espacio columna (col A) es el span de los vectores columna de una matriz: todas las combinaciones lineales posibles de esas columnas. Como Ax es, por definición, una combinación lineal de las columnas de A, la ecuación Ax=b solo puede tener solución si y solo si b pertenece a col A.
- col A contiene todos los resultados posibles de Ax.
- Si b ∈ col A, el sistema Ax=b puede resolverse.
- Si b ∉ col A, no existe combinación lineal de columnas que alcance b y el sistema no tiene solución.
- Habilidad clave: verificar si un vector está en col A al analizar dependencias o paralelismo entre columnas.
¿Qué revelan los ejemplos con A y M?
Los ejemplos muestran cómo la geometría de las columnas (paralelas o con direcciones distintas) determina el tamaño de col A y, por tanto, la existencia de soluciones para Ax=b.
¿Por qué A=[2 1; 1 3] garantiza solución para cualquier b?
Para A con columnas v1=[2;1] y v2=[1;3]:
- No son paralelas: no existe un escalar c tal que v1=c·v2.
- Generan todo el plano bidimensional: col A=R².
- Conclusión práctica: sin importar el b elegido, siempre está en col A y por eso Ax=b tiene solución.
- Habilidad clave: graficar columnas y decidir si generan R² o una línea.
¿Cuándo M=[1 2; 2 4] no tiene solución?
Para M con columnas v1=[1;2] y v2=[2;4]:
- Son paralelas: v2=2·v1. El espacio columna es una sola línea por el origen.
- Si b=[3;6], entonces b está en esa línea y Mx=b sí tiene solución.
- Si b=[2;3], queda fuera de la línea y Mx=b no tiene solución.
- Habilidad clave: detectar dependencia lineal entre columnas y decidir si col M es una línea o un plano.
¿Qué es el espacio nulo y cómo señala unicidad de la solución?
El espacio nulo (null A) es el conjunto de todos los x tales que Ax=0. Geométricamente, son los vectores que la transformación A “aplasta” al origen. Este subespacio responde si la solución de Ax=b es única o infinita:
- Si null A={0}, la solución (cuando existe) es única.
- Si null A contiene vectores no nulos, hay infinitas soluciones para cualquier b en col A.
- Habilidad clave: pasar a forma algebraica y resolver Ax=0 para identificar soluciones triviales o no triviales.
¿Qué pasa con A=[2 1; 1 3]?
- Ecuaciones: 2x + y = 0 y x + 3y = 0.
- La única forma de satisfacer ambas es x=0, y=0.
- Resultado: null A es trivial, solo el vector cero. La solución de Ax=b es única cuando existe.
¿Qué pasa con M=[1 2; 2 4]?
- Ecuaciones: x + 2y = 0 y 2x + 4y = 0 (redundante).
- Hay infinitas soluciones: por ejemplo, x=-2, y=1 satisface x + 2y = 0.
- Geometría: null M es una línea de vectores que van al origen.
- Implicación: si b está en col M, Mx=b tiene infinitas soluciones.
¿Qué ejercicio práctico puedes resolver ahora?
Trabaja con A=[[1,1],[1,1]]:
- Describe el espacio columna al graficar sus dos columnas: decide si es una línea o el plano completo.
- Propón un vector no cero en el espacio nulo que cumpla Ax=0.
- Comparte tu razonamiento: dependencias entre columnas, combinaciones lineales y forma de Ax=0.
¿Tienes un ejemplo extra o una visualización distinta para el col A o el null A? Compártelo en los comentarios y cuéntanos cómo verificaste existencia y unicidad en tu sistema.
