Independencia lineal: cuándo un vector es redundante

Aprende a reconocer con seguridad cuándo un vector es redundante y cómo decidir la independencia lineal con ejemplos claros en R2. Verás combinaciones lineales paso a paso, la intuición geométrica del paralelogramo y por qué la base estándar es el patrón ideal para evitar redundancia. Además, se anticipa el producto punto para medir alineación y ángulos.

¿Qué es la independencia lineal y por qué evita redundancia?

La idea central es simple y poderosa: un conjunto es linealmente independiente si ninguno de sus vectores se puede escribir como combinación lineal de los otros. Cada vector aporta una nueva dirección al espacio generado (span).

¿Cómo se define independencia lineal en R2?

• Independencia lineal: ningún vector es combinación de los demás.
• Cada vector añade una dimensión nueva al span.
• Si quitas un vector, el span se reduce.
• En R2, dos vectores no colineales generan todo el plano.

¿Por qué la base estándar i y j es ejemplo clave?

• I sombrerito (1,0) controla el eje x: al escalarlo, nunca se mueve en y.
• J sombrerito (0,1) controla el eje y: al escalarlo, no cambia en x.
• Son fundamentalmente diferentes: no hay solapamiento de dirección.
• Con ellos no hay redundancia: son bloques de construcción eficientes en el plano.

¿Cómo identificar dependencia lineal con combinaciones lineales?

La dependencia lineal aparece cuando al menos un vector es combinación lineal de otros. Geométricamente, el vector dependiente vive dentro del espacio generado por el conjunto.

¿Qué muestra el ejemplo con u, v y w = 2u + v?

• Datos: u = (1,2), v = (3,1), w = 2u + v = (5,5).
• Habilidad: sumar vectores y escalar para construir w.
• En el plano, 2u y v forman un paralelogramo, y w aparece como su diagonal resultante.
• Conclusión: w es dependiente de u y v porque es su combinación lineal.

¿Cómo comprobar independencia con un escalar?

• Datos: u = (2,1), v = (−1,1).
• Pregunta: ¿existe c tal que c·v = u?
• Prueba rápida: con c = 2 se obtiene (−2,2), que no es (2,1).
• Idea clave: si no hay escalar que alinee exactamente un vector con el otro, el par es linealmente independiente.

¿Qué pasa con tres vectores u, v, w linealmente relacionados?

• Datos: u = (2,1), v = (−1,1), w = (1,2).
• Cálculo: u + v = (1,2) = w.
• Lectura geométrica: w está en el span de u y v.
• Conclusión: el conjunto es linealmente dependiente porque uno se obtiene de los otros.

¿Qué ejercicios y próxima herramienta refuerzan el aprendizaje?

La práctica consolida la intuición: comprobar por cálculo y por dibujo cuándo hay independencia o redundancia, y reconocer combinaciones lineales en el plano.

¿Puedes resolver el ejercicio propuesto con U, V, W?

• Conjunto: U = (1,0), V = (0,1), W = (2,2).
• Consigna: decide si es linealmente independiente o no y explica por qué.
• Sugerencias: intenta escribir un vector como combinación de los otros. Dibuja y busca el paralelogramo. Verifica si alguno es redundante.

¿Qué es el producto punto y para qué servirá?

• Próxima herramienta: producto punto para medir alineación y ángulo entre vectores.
• Aplicaciones inmediatas: ortogonalidad y proyecciones.
• Beneficio: cuantificar cuán cerca están dos vectores de ser dependientes en dirección.

¿Te animas a compartir tu respuesta del ejercicio y tu razonamiento paso a paso en los comentarios?