Matrices como transformaciones lineales

Las matrices no solo almacenan números: son operadores que transforman el espacio. Entender su acción como transformaciones lineales te permite predecir cómo cambian dirección, magnitud y orientación de cualquier vector. Aquí verás, de forma clara y práctica, cómo funcionan, cómo se calculan y por qué son esenciales en computación gráfica.

¿Qué es una transformación lineal y qué condiciones cumple?

Una transformación lineal toma un vector de entrada y lo envía a un nuevo lugar cumpliendo reglas estrictas. Estas reglas garantizan que el espacio conserve estructura y sea predecible.

• Paralelismo y espaciado uniforme. Las líneas de una cuadrícula pueden estirarse o rotar, pero nunca se curvan ni se amontonan de forma desigual.
• Origen fijo. El punto (0, 0) permanece en (0, 0) tras la transformación.
• Columnas como imágenes de la base estándar. Las columnas de la matriz indican a dónde van los vectores base i y j tras la transformación. Si conoces el destino de la base, conoces el destino de cualquier vector.

¿Cómo transforman el espacio estas matrices clave?

Las siguientes matrices ilustran acciones geométricas fundamentales. Observa qué le pasa a la cuadrícula y a los vectores base: esa es la clave para entender cualquier caso.

¿Cómo escala la matriz [2 0; 0 2]?

• Escala uniforme por 2. Todo el espacio se hace el doble de grande.
• Los vectores base se mueven a las columnas de la matriz: i → (2, 0), j → (0, 2).
• El vector observado cambia su longitud y puede cambiar su posición, pero la estructura de la cuadrícula se conserva.

¿Cómo rota la matriz [0 1; -1 0]?

• Rotación 90° antihoraria. El espacio gira a la izquierda.
• El paralelismo se conserva y el origen queda fijo.
• Los vectores base se reubican de acuerdo con las columnas de la matriz.

¿Cómo inclina la matriz [1 1; 0 1]?

• Inclinación (shear) hacia la derecha. El espacio se inclina sin estirar ni encoger uniformemente.
• El vector j se mueve una unidad a la derecha, mientras que el vector i queda estático.
• Las columnas muestran el destino de la base: i → (1, 0), j → (1, 1).

¿Cómo se calcula el producto matriz-vector de forma intuitiva?

El producto matriz-vector se escribe como A x. Puedes calcularlo de dos maneras equivalentes: por filas o usando columnas y combinación lineal.

• Método por filas (producto vector-vector):
• Sea A = [1 1; 0 1] y x = (2, 1).
• Primera fila de A con x: (1, 1) · (2, 1) = 1·2 + 1·1 = 3.
• Segunda fila de A con x: (0, 1) · (2, 1) = 0·2 + 1·1 = 1.

• Resultado: A x = (3, 1).

• Método por columnas (combinación lineal de la base):

• Escribe x como combinación de la base: x = 2·i + 1·j.
• Usa que las columnas son las imágenes de la base: A·i = (1, 0), A·j = (1, 1).
• Distribuye A: A x = 2·A i + 1·A j = 2·(1, 0) + (1, 1) = (3, 1).

Más allá del cálculo, lo esencial es la interpretación: una matriz registra “a dónde van” i y j. Si sabes eso, sabes a dónde va cualquier vector. Esta idea sostiene aplicaciones prácticas: en videojuegos, el motor aplica matrices de rotación, traslación y escalado a los vectores que describen posiciones en 3D para mover, saltar o rotar personajes de forma coherente.

¿Te animas a practicar? Define A = [0 1; 1 0] y x = (3, 1). Aplica la transformación y dibuja el vector original y el transformado. Comparte tu resultado y explica qué les ocurre a i y j al aplicar A. Si algo no queda claro, repite el contenido hasta sentir dominio: entender matrices como transformaciones lineales te abrirá el camino para lo que sigue. ¡Comenta tus dudas o hallazgos!