Ortogonalidad entre espacio fila y espacio nulo

Comprende con claridad cómo se conectan los cuatro subespacios fundamentales de una matriz. Aquí verás por qué el espacio fila y el espacio nulo son ortogonales, y cómo la transpuesta introduce al espacio nulo izquierdo sin complicaciones. Todo se apoya en el producto punto y en la ecuación AX = 0.

¿Qué son el espacio fila y el espacio nulo izquierdo?

El tercer subespacio clave es el espacio fila, que se define como el espacio columna de la transpuesta. Tiene sentido: la matriz transpuesta intercambia columnas por filas, y así el espacio fila reúne todas las combinaciones lineales de los vectores fila.

El cuarto subespacio es el espacio nulo izquierdo, que es el espacio nulo de la transpuesta. Si ya entiendes el espacio columna y el espacio nulo, aquí aplicas lo mismo pero a la matriz transpuesta.

• Espacio fila: col de A transpuesta.
• Espacio nulo izquierdo: nul de A transpuesta.
• Transpuesta: cambia columnas por filas.
• Combinaciones lineales: generan cada subespacio.

¿Cómo se relacionan con la transpuesta?

La transpuesta actúa como un “espejo” entre filas y columnas. Por eso:

• El espacio fila de A coincide con el espacio columna de A transpuesta.
• El espacio nulo izquierdo de A coincide con el espacio nulo de A transpuesta.

¿Por qué hay ortogonalidad entre espacio fila y espacio nulo?

Estos subespacios no viven aislados: hay una relación geométrica central. El espacio fila es ortogonal al espacio nulo; el espacio columna es ortogonal al espacio nulo izquierdo. En términos prácticos: cualquier vector del espacio fila forma 90 grados con cualquier vector del espacio nulo; y lo mismo ocurre entre espacio columna y espacio nulo izquierdo.

La razón es directa con AX = 0: el producto AX se compone de productos punto entre cada fila de A y el vector x. Para que AX sea cero, cada producto punto debe ser cero; y un producto punto cero indica ortogonalidad.

• AX = 0 implica filas de A · x = 0 para cada fila.
• Producto punto cero: vectores ortogonales.
• Separación limpia: parte relevante vs. parte aplastada al cero.

¿Qué significa para la transformación lineal?

• El espacio fila concentra las “entradas relevantes” para la transformación.
• El espacio nulo reúne las “entradas que se aplastan” a cero.
• Juntos describen todo el espacio de entrada.

¿Cómo se visualiza con un ejemplo y qué ejercicio practicar?

Considera la matriz 2×2 con entradas: 1, 2, 2, 4. Un vector fila representativo es (1, 2). Un vector en el espacio nulo es x = (−2, 1); este hace verdadera la ecuación AX = 0.

Visualmente, los vectores (1, 2) y (−2, 1) forman un ángulo recto. Algebraicamente, el producto punto confirma la ortogonalidad: 1·(−2) + 2·1 = 0. Así, el espacio fila y el espacio nulo son perfectamente perpendiculares.

• Matriz: 1, 2, 2, 4.
• Vector fila: (1, 2).
• Vector nulo: (−2, 1).
• Verificación: producto punto igual a cero.
• Idea clave: ortogonalidad entre subespacios fundamentales.

¿Qué habilidades refuerzas al practicar?

• Identificar el espacio fila y el espacio nulo izquierdo mediante la transpuesta.
• Verificar AX = 0 y usar producto punto para ortogonalidad.
• Representar vectores y ángulos rectos de forma gráfica.
• Distinguir entradas relevantes vs. entradas aplastadas por la transformación.

¿Qué ejercicio puedes resolver ahora?

Con la misma matriz y el vector fila (1, 2), encuentra otro vector x distinto de (−2, 1) que también cumpla AX = 0. Verifica si es ortogonal al vector fila, de forma gráfica, algebraica o ambas. Comparte tus resultados en los comentarios y explica tu método.