Proyección ortogonal: mejor aproximación cuando AX=b no tiene solución

Cuando un sistema AX=b no tiene solución, no es el fin del camino: la proyección ortogonal permite hallar la mejor aproximación dentro del espacio columna de A. La idea es simple y poderosa: proyectar b sobre el espacio columna de A para obtener el vector más cercano que sí podemos construir.

¿Qué es la proyección ortogonal y por qué importa?

La proyección ortogonal de un vector b sobre una línea o subespacio generado por a es su “sombra” con luz perpendicular. Esa sombra es el punto del subespacio que queda a distancia mínima de b, es decir, la mejor aproximación cuando b no pertenece al espacio columna.

• Si b está fuera del espacio columna de A, proyectarlo sobre ese espacio da el vector constructible más cercano.
• La “sombra” es un nuevo vector que queda sobre la línea o subespacio de a.
• El criterio de cercanía es geométrico: el error es perpendicular al subespacio.

La fórmula clave de la proyección de b sobre a es: (b·a / ||a||²) a. Aquí, producto punto y norma permiten cuantificar “cuánto de a” compone la sombra de b.

¿Cómo calcular una proyección con producto punto y norma?

Para proyectar b sobre a, se sigue una secuencia conocida: calcular b·a, calcular ||a||² y multiplicar el escalar por a. El paréntesis indica cuánta proporción de a necesitamos para formar la sombra.

• Producto punto: combina componentes, mide alineación.
• Norma: mide longitud; al cuadrado simplifica la escala de la proyección.
• Multiplicación final: devuelve el vector proyectado sobre la dirección de a.

¿Cómo se resuelve el ejemplo b=(2,3) sobre a=(4,0)?

• Producto punto: 2·4 + 3·0 = 8.
• Norma al cuadrado: ||a||² = 4² + 0² = 16.
• Escalar: 8/16 = 1/2.
• Proyección: (1/2)·(4,0) = (2,0).

Resultado: (2,0) es la proyección y la mejor aproximación de b sobre la línea de a.

¿Cómo usar la proyección para aproximar soluciones a AX=b sin solución?

Cuando un sistema no tiene solución, el vector b queda fuera del espacio columna de A. Proyectar b sobre ese espacio produce el vector alcanzable más cercano, que interpretamos como la “solución más cercana”.

¿Qué pasa con el sistema x+y=2 y x+y=4?

• Matriz de coeficientes: A con columnas idénticas, por lo que su espacio columna es la línea generada por (1,1).
• Vector resultado: B=(2,4).
• Proyección de B sobre a=(1,1):
• Producto punto: 2·1 + 4·1 = 6.
• Norma al cuadrado: ||a||² = 1² + 1² = 2.
• Escalar: 6/2 = 3.
• Proyección: 3·(1,1) = (3,3).

Interpretación: (3,3) está dentro del espacio columna y es el vector más cercano a B que A sí puede generar. Es la mejor aproximación cuando el sistema es incompatible.

¿Qué habilidades y conceptos refuerzas y qué ejercicio queda?

• Lectura geométrica de AX=b: cercanía en el espacio columna.
• Cálculo eficiente de producto punto y norma.
• Interpretación de proyección como “sombra” y distancia mínima.
• Uso de una base y su “versión perfecta” donde todos los vectores son ortogonales, preparando el camino para un método sistemático de ortogonalización.

Ejercicio propuesto: dados V=(3,0) y U=(1,1), calcula la proyección de U sobre V. Comparte el vector resultante en los comentarios.

¿Quieres retarte más? Piensa cómo convertir una base cualquiera en otra con vectores mutuamente ortogonales y comenta tu intuición antes de continuar.