Comprender los eigenvectores y eigenvalores cambia la forma de ver una transformación lineal: revela sus direcciones más simples y predecibles. Aquí encontrarás una explicación clara y visual, con ejemplos directos y un ejercicio resuelto para afianzar la intuición.
¿Qué es un eigenvector y cómo se interpreta geométricamente?
Un eigenvector (o autovector) de una matriz es un vector que, tras aplicar la transformación, no cambia de dirección: solo se estira o encoge. El eigenvalor (o autovalor) es el factor de escala asociado.
- Si la flecha resultante es el doble de larga, el eigenvalor es 2.
- Si queda a la mitad, el eigenvalor es 0.5.
- Si apunta en la dirección contraria, el eigenvalor es negativo (por ejemplo, −1).
Estas direcciones son, en esencia, los ejes de la transformación: allí la acción de la matriz es un estiramiento o contracción puros.
¿Cómo se identifican eigenvectores y eigenvalores en ejemplos concretos?
La ecuación clave captura la idea: A·V = λ·V. Aplicar la matriz A a V debe equivaler a escalar V por un número λ.
- Ejemplo visual: con A igual a 3, 1, 0, 2, los vectores verde y amarillo no cambian de dirección; se estiran por factores 3 y 2, respectivamente. El resto sí rota su dirección. Por tanto, esos dos son los eigenvectores con sus eigenvalores asociados.
- Ejercicio resuelto: con A igual a 3, 0, 1, 2 y V = (1, −1), se verifica que A·V = 2·V. Concluimos que V es eigenvector de A y su eigenvalor es 2.
¿Qué habilidades y conceptos se practican?
- Lectura geométrica de una transformación lineal en el plano bidimensional.
- Identificación de direcciones invariantes: eigenvectores que no rotan su dirección.
- Interpretación del signo del eigenvalor: positivo, negativo o fracción.
- Verificación algebraica con A·V = λ·V.
- Multiplicación matriz-vector para contrastar resultados.
- Uso de la notación con λ como factor de escala.
¿Qué palabras clave debes retener?
- Eigenvector o autovector.
- Eigenvalor o autovalor.
- Transformación lineal y matriz.
- Estiramiento, contracción, dirección invariante.
- Plano bidimensional.
¿Cuándo una transformación no tiene eigenvectores?
No todas las transformaciones poseen eigenvectores en el plano. Un ejemplo claro es la rotación de 90 grados: todos los vectores son rotados fuera de su línea original, por lo que no existe vector no nulo que conserve su dirección tras la transformación.
¿Quieres practicar otro caso?
- Usa la misma matriz A igual a 3, 0, 1, 2.
- Prueba con V = (1, 0) y verifica A·V = λ·V.
- Determina si es eigenvector y, si lo es, encuentra λ.
Comparte tu proceso y resultado en los comentarios: ¿qué observaste sobre la dirección y el factor de escala?
