Sistemas de ecuaciones como Ax = b

Comprende con seguridad cómo expresar un sistema de ecuaciones lineales en la forma Ax = b y por qué esta notación concentra la esencia del problema. Verás cómo identificar la matriz de coeficientes, el vector de incógnitas y el vector de resultados, y cómo leer Ax como combinación lineal de columnas para interpretar soluciones y resultados posibles.

¿Qué es un sistema de ecuaciones lineales y por qué importa?

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de igualdades con múltiples incógnitas que se satisfacen al mismo tiempo. Son lineales porque las variables no están elevadas a potencias. Geométricamente, cada ecuación representa una línea en 2D o un plano en 3D.

• Las variables no tienen exponentes distintos de uno.
• Cada ecuación agrega una restricción al conjunto de soluciones.
• El objetivo es encontrar valores que satisfagan todas las ecuaciones simultáneamente.

¿Cómo luce un ejemplo 2x2 con Ax = b?

Ejemplo: 2x + 3y = 8 y x − y = 1.

• Vector de incógnitas: x = [x, y]ᵗ.
• Matriz de coeficientes: A cuyas columnas agrupan coeficientes por variable: primera columna [2, 1]ᵗ, segunda columna [3, −1]ᵗ.
• Vector de resultados: b = [8, 1]ᵗ.
• Forma compacta: Ax = b.

¿Cómo interpretar Ax = b como combinación lineal?

Multiplicar A por x equivale a combinar linealmente las columnas de A usando como pesos los componentes de x. Así, Ax busca la combinación lineal de columnas de A que produce b. De este modo, encontrar x es hallar los pesos que transforman A en el resultado deseado b.

• Aporta una lectura geométrica: columnas de A como vectores base del espacio que genera Ax.
• Conecta con la base estándar y el concepto de combinación lineal.
• Es el “lenguaje universal” del álgebra lineal para modelar relaciones: en economía para mercados, en ingeniería para circuitos, y en diseño de redes para flujo de información.

¿Qué papel juegan la matriz de coeficientes y el vector de resultados?

La matriz A condensa la transformación: indica qué resultados son posibles, qué soluciones existen y cómo se comporta el sistema. El vector b es la meta a alcanzar mediante la combinación lineal de columnas de A.

• A define la estructura del problema.
• b fija el objetivo de la búsqueda.
• x contiene los pesos que materializan la combinación lineal.

¿Cómo construir A, x y b en un sistema 3x3?

Sistema: x + 2y − z = 4; 2x + 2y + 0z = 0; 3x − y + 5z = 1.

• Vector de incógnitas: x = [x, y, z]ᵗ.
• Matriz de coeficientes: A con columnas formadas por los coeficientes de cada variable:
• Columna de x: [1, 2, 3]ᵗ.
• Columna de y: [2, 2, −1]ᵗ.
• Columna de z: [−1, 0, 5]ᵗ.
• Vector de resultados: b = [4, 0, 1]ᵗ.
• Forma compacta: Ax = b.

¿Con qué ejercicio puedes practicar la forma matricial?

Propósito: traducir a forma matricial y reforzar el armado de A, x y b.

• Sistema: 5A − 2B = 10 y 3A + B = 7.
• Incógnitas en vector columna: [A, B]ᵗ.
• Matriz de coeficientes: coloca los coeficientes por variable en columnas.
• Vector de resultados: [10, 7]ᵗ.

Cuando dominas Ax = b, no solo cambias de notación: accedes a la estructura del problema. A guarda “secretos” sobre resultados posibles y soluciones. Próximo paso: explorar los cuatro subespacios fundamentales de una matriz.

¿Te animas a escribir la forma matricial del ejercicio y comentar tu resultado?